Zweifeldriger Durchlaufträger

Ein Auflager mehr an einem Einfeldträger, und er ist mit der Statik allein nicht mehr lösbar. Zählen Sie die Unbekannten: Drei Auflager bedeuten drei senkrechte Auflagerkräfte, ein senkrecht belasteter Träger liefert aber nur zwei brauchbare Gleichgewichtsbedingungen — = 0 und = 0. Drei Unbekannte, zwei Gleichungen: Der Träger ist statisch unbestimmt, mit einer überzähligen Unbekannten, und kein noch so geschickt gewählter Momentenpunkt knackt ihn.

Die fehlende Gleichung handelt überhaupt nicht von Kräften — sie handelt von Geometrie. Wie die Auflagerkräfte auch ausfallen, die verformte Biegelinie muss eine einzige glatte, durchgehende Kurve über alle drei Auflager bleiben. Diese geometrische Tatsache in Algebra zu übersetzen ist genau die Aufgabe des nächsten Schritts.

Der klassische Weg hinein ist der Dreimomentensatz von Clapeyron. Nehmen Sie drei aufeinanderfolgende Auflager eines Durchlaufträgers, und der Satz schreibt eine Gleichung, die die Biegemomente an diesen drei Stellen verknüpft. Die linke Seite ist reine Geometrie — die Stützweiten. Die rechte misst die Belastung: Jedes Feld liefert ein Lastglied (bei voller Gleichlast ), gebildet aus der Momentenlinie, die dieses Feld als Einfeldträger für sich hätte. Hinter der Algebra steckt nichts anderes als die ausformulierte Verträglichkeitsbedingung aus Schritt 1: Die Neigung der Biegelinie unmittelbar links von B muss der unmittelbar rechts von B entsprechen.

Hier fällt die Buchführung in sich zusammen. Die Endauflager sind einfache Auflager ohne Fortsetzung, also — nur das innere Moment ist unbekannt, und die beiden gleichen Felder verkürzen den Satz auf eine einzige Zeile:

Mit L = 6 m und w = 12 kN/m und Auflösen:

Das Vorzeichen ist die Geschichte: negativ heißt Stützmoment — über dem Mittelauflager kehrt sich die Krümmung um, und die Oberseite des Trägers wird gezogen. Eine Gleichung, eine Unbekannte, und die Unbestimmtheit ist weg.

Mit bekanntem ist der Träger aufgeschlossen — von hier an ist alles reine Statik. Betrachten Sie Feld AB für sich: ein Einfeldträger unter w, dazu das Endmoment in B. Der Einfeldanteil schickt = 36 kN an jedes Ende; das negative Endmoment verlagert danach 9 kN (= ) vom Außenauflager zum Mittelauflager. Dann nutzen Sie die Symmetrie:

Das Mittelauflager trägt 62.5 % der Gesamtlast — der Grund, warum ein Durchlaufträger genau dort eine kräftige Innenstütze verlangt, wo das Stützmoment ohnehin seinen Größtwert hat.

Gehen Sie Feld AB von links ab. Die Querkraft beginnt bei der Auflagerkraft von +27 kN und fällt mit konstant 12 kN/m: V(x) = 27 − 12x. Sie geht bei x = 2.25 m durch null und erreicht unmittelbar links von B −45 kN, wo die Auflagerkraft von 90 kN sie wieder nach oben wirft; das zweite Feld spiegelt das erste. Das Feldmoment erreicht seinen Größtwert genau dort, wo die Querkraft verschwindet:

Stellen Sie die beiden Größtwerte nebeneinander: 30.375 kN·m Feldmoment in jedem Feld gegen 54 kN·m Stützmoment über B. Beim Durchlaufträger sitzt das größte Moment meist am Auflager und nicht in Feldmitte — umgekehrt zur Gewohnheit beim Einfeldträger.

Die Biegelinie bindet die ganze Lösung zusammen. Jedes Feld hängt rund 4.2 mm durch — das klassische Ergebnis , etwa bei 0.42L von einem Außenauflager —, während die Durchbiegung über jedem Auflager definitionsgemäß null ist. Schauen Sie nahe B genau hin: Die Kurve flacht ab, ihre Krümmung kehrt sich im Bereich des Stützmoments um, und dann läuft sie ohne Knick über das Mittelauflager. Diese glatte, durchgehende Kurve über alle drei Auflager ist die Verträglichkeitsbedingung aus Schritt 1 — keine abstrakte Forderung mehr, sondern eine sichtbare Form.