Viga continua de dos vanos
Añade un apoyo y la viga deja de resolverse solo con la estática: se vuelve hiperestática. La vía clásica es el teorema de los tres momentos de Clapeyron, y este caso simétrico de dos vanos da los resultados que todo ingeniero memoriza: negativo sobre el apoyo central, y reacciones extremas de solo . Por el camino veremos exactamente por qué la continuidad hace la viga mucho más eficiente que dos vanos independientes.
- Configuración
- 2 vanos × 6 m
- Apoyos
- Fijo · Móvil · Móvil
- Vano
- 6 m
- 200 GPa
- 100 × 10⁶ mm⁴
- 12 kN/mintroducida como −12
Paso 1 — Un apoyo de más para la estática
Tres reacciones, dos ecuaciones: la que falta habla de geometría, no de fuerzas.
Añade un apoyo a una viga biapoyada y deja de resolverse solo con la estática. Cuenta las incógnitas: tres apoyos son tres reacciones verticales, pero una viga cargada verticalmente solo ofrece dos ecuaciones de equilibrio útiles, = 0 y = 0. Tres incógnitas, dos ecuaciones: la viga es hiperestática, con una incógnita redundante, y por más momentos ingeniosos que tomes no la abrirás.
La ecuación que falta no habla de fuerzas en absoluto: habla de geometría. Sean cuales sean las reacciones, la viga deformada tiene que seguir siendo una única curva suave y continua que pasa por los tres apoyos. Convertir ese hecho geométrico en álgebra es exactamente lo que hace el paso siguiente.
Paso 2 — El teorema de los tres momentos de Clapeyron
Una ecuación para el momento incógnita en el apoyo.
La vía clásica es el teorema de los tres momentos de Clapeyron. Toma tres apoyos consecutivos cualesquiera de una viga continua y el teorema escribe una ecuación que liga los momentos flectores en esos tres puntos. El lado izquierdo es geometría pura: las luces de los vanos. El derecho mide la carga: cada vano aporta un término (para una carga uniforme completa es ) construido a partir del diagrama de momentos que ese vano tendría si estuviera solo, biapoyado. Detrás del álgebra no hay más que la condición de compatibilidad del paso 1 desarrollada: la pendiente de la viga justo a la izquierda de B tiene que coincidir con la pendiente justo a la derecha de B.
Aquí la contabilidad se simplifica sola. Los extremos son apoyos simples sin nada más allá, así que : solo el momento interior es incógnita, y los dos vanos iguales reducen el teorema a una sola línea.
Sustituyendo L = 6 m y w = 12 kN/m y despejando:
El signo es la historia: negativo significa momento de apoyo — sobre el apoyo central la curvatura se invierte y la cara superior de la viga se tracciona. Una ecuación, una incógnita, y la hiperestaticidad desaparece.
Paso 3 — Las reacciones
El apoyo central se lleva el 62.5 % de todo.
Con conocido, la viga queda abierta: de aquí en adelante todo es estática pura. Trata el vano AB por separado: una viga biapoyada con w, más el momento de extremo aplicado en B. La parte de vano simple manda = 36 kN a cada extremo; el momento negativo de extremo redistribuye después 9 kN (= ) del apoyo exterior al central. Después, usa la simetría:
El apoyo central lleva el 62.5 % de la carga total: por eso una viga continua exige un pilar interior fuerte justo donde el momento negativo ya hace máximo.
Paso 4 — Cortante y momento, vano a vano
El punto de cortante nulo sitúa el máximo positivo.
Recorre el vano AB desde la izquierda. El cortante arranca en la reacción de +27 kN y cae al ritmo constante de 12 kN/m: V(x) = 27 − 12x. Pasa por cero en x = 2.25 m y llega a −45 kN justo a la izquierda de B, donde la reacción de 90 kN lo lanza de nuevo hacia arriba; el segundo vano es el espejo del primero. El momento positivo hace máximo justo donde se anula el cortante:
Pon los dos máximos uno al lado del otro: 30.375 kN·m de momento positivo dentro de cada vano frente a 54 kN·m de negativo sobre B. En una viga continua el mayor momento suele vivir en el apoyo, no en el centro del vano: justo al revés de la costumbre del vano simple.
Paso 5 — La deformada
Nula sobre cada apoyo y con flecha entre ellos: la compatibilidad hecha visible.
La deformada ata toda la solución. Cada vano flecta unos 4.2 mm —el resultado clásico , a unos 0.42L de un apoyo exterior—, mientras que justo sobre cada apoyo la flecha es nula por definición. Fíjate cerca de B: la curva se aplana, su curvatura se invierte en la zona de momento negativo y después pasa sobre el apoyo central sin ningún quiebro. Esa curva suave y continua sobre los tres apoyos es la condición de compatibilidad del paso 1: ya no un requisito abstracto, sino una forma que puedes ver.
La comprobación
El cálculo a mano frente al solver.
| Magnitud | A mano | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| Momento negativo M_B | −54 kN·m (wL²/8) | −54 kN·m en 6 m | |
| R_A = R_C | 27 kN (3wL/8) | 27 kN | |
| R_B | 90 kN (10wL/8) | 90 kN | |
| Momento de vano máximo | 30.375 kN·m en 2.25 m (9wL²/128) | 30.375 kN·m en 2.25 m | |
| Cortante máximo |V| | 45 kN junto a B | 45 kN en 6 m | |
| Flecha máxima | ≈ 4.2 mm en ≈ 0.42L (wL⁴/185EI) | 4.212 mm en 2.53 m |
Todos los valores se han obtenido a mano por el método clásico y luego se han contrastado con el solver de este sitio, el mismo motor que abre el botón Pruébalo. Esta coincidencia se vuelve a comprobar automáticamente en cada compilación.
Ahora hazlo tuyo
Abre este mismo modelo en la calculadora, cambia una carga, arrastra un apoyo y mira cómo se actualizan todos los diagramas en tiempo real. La mejor forma de coger intuición es romperlo y ver qué pasa.
Llévatelo contigo
Exporta este ejemplo resuelto en PDF, o descárgalo como .screport y ábrelo en el generador de informes: el modelo viaja dentro del archivo, así que puedes reconstruirlo, volver a resolverlo y montar tu propio informe a partir de él.