Poutre continue à deux travées

Ajoutez un appui à une poutre sur deux appuis et elle cesse d’être soluble par la seule statique. Comptez les inconnues : trois appuis font trois réactions verticales, mais une poutre chargée verticalement n’offre que deux équations d’équilibre utiles — = 0 et = 0. Trois inconnues, deux équations : la poutre est hyperstatique, avec une inconnue surabondante, et aucun choix astucieux de point de moment n’en viendra à bout.

L’équation manquante ne parle pas de forces du tout — elle parle de géométrie. Quelles que soient les réactions, la poutre déformée doit rester une seule courbe lisse et continue passant sur les trois appuis. Traduire ce fait géométrique en algèbre, c’est exactement ce que fait l’étape suivante.

La voie classique est le théorème des trois moments de Clapeyron. Prenez trois appuis consécutifs quelconques d’une poutre continue : le théorème écrit une équation liant les moments fléchissants en ces trois points. Le membre de gauche est de la géométrie pure — les portées. Celui de droite mesure le chargement : chaque travée apporte un terme (pour une charge uniforme complète, ) construit à partir du diagramme de moment que cette travée aurait si elle était isolée sur deux appuis. Derrière l’algèbre, ce n’est rien d’autre que la condition de compatibilité de l’étape 1 développée : la pente de la poutre juste à gauche de B doit égaler celle juste à droite de B.

Ici, la comptabilité s’effondre d’elle-même. Les extrémités sont des appuis simples sans rien au-delà, donc — seul le moment intérieur est inconnu, et les deux travées égales réduisent le théorème à une seule ligne :

En remplaçant L = 6 m et w = 12 kN/m et en résolvant :

Le signe dit tout : négatif signifie moment sur appui — au droit de l’appui central la courbure s’inverse et la face supérieure de la poutre est tendue. Une équation, une inconnue, et l’hyperstaticité disparaît.

Une fois connu, la poutre est déverrouillée — tout le reste est de la statique pure. Traitez la travée AB seule : une poutre sur deux appuis portant w, plus le moment d’extrémité appliqué en B. La part de travée simple envoie = 36 kN à chaque extrémité ; le moment négatif d’extrémité redistribue ensuite 9 kN (= ) de l’appui extérieur vers le central. Puis servez-vous de la symétrie :

L’appui central reprend 62.5 % de la charge totale — d’où l’exigence, pour une poutre continue, d’un poteau intérieur solide précisément là où le moment négatif culmine déjà.

Parcourez la travée AB depuis la gauche. L’effort tranchant part de la réaction de +27 kN et décroît à la cadence constante de 12 kN/m : V(x) = 27 − 12x. Il s’annule en x = 2.25 m et atteint −45 kN juste à gauche de B, où la réaction de 90 kN le relance vers le haut ; la seconde travée est le miroir de la première. Le moment en travée culmine exactement là où l’effort tranchant s’annule :

Mettez les deux pics côte à côte : 30.375 kN·m en travée dans chaque portée contre 54 kN·m sur appui au droit de B. Dans une poutre continue, le plus grand moment se trouve en général sur appui, pas à mi-travée — l’inverse de l’habitude prise en travée simple.

La déformée relie toute la solution. Chaque travée fléchit d’environ 4.2 mm — le résultat classique , à environ 0.42L d’un appui extérieur — tandis qu’au droit de chaque appui la flèche est nulle par définition. Regardez attentivement près de B : la courbe s’aplatit, sa courbure s’inverse dans la zone de moment négatif, puis elle franchit l’appui central sans brisure. Cette courbe lisse et continue sur les trois appuis, c’est la condition de compatibilité de l’étape 1 — non plus une exigence abstraite, mais une forme que l’on voit.