Träger mit Kragarm, Teil-Gleichlast und eingeprägtem Moment

Schauen Sie sich die Zeichnung bei B (6 m) genau an, wo der Träger den Querschnitt wechselt: Der steifere Feldabschnitt (I₁ = 120×10⁶ mm⁴) trifft direkt über dem Rollenlager auf den niedrigeren Kragarmabschnitt (I₂ = 60×10⁶ mm⁴). Die beiden Teile sind Stoß an Stoß über Stirnplatten über die volle Höhe, miteinander verschraubt, verbunden — ein biegesteifer Stirnplattenanschluss. Weil die Platten über die ganze Höhe reichen und die Schrauben sie auf Höhe der Flansche klemmen, haben die Flansche — die Teile eines I-Profils, die die Biegung tragen — einen durchgehenden Weg über den Stoß. Das Moment läuft hindurch: tragwerklich ist das ein Träger mit einem Steifigkeitssprung, nicht zwei.

Vergleichen Sie die Alternative: ein kleines Blech allein an den Stegen (eine Fahnenplatte) überträgt Querkraft, gibt den Flanschen aber keinen Weg und wirkt deshalb wie ein Gelenk. Hier wäre das fatal — Gelenk und Rollenlager lägen an derselben Stelle, und der Kragarm könnte sich unter dem bei x = 7 m eingeprägten Moment von 15 kN·m frei um B drehen: ein Mechanismus, kein Tragwerk. Der gezeichnete Anschluss ist keine Zierde; das Stützmoment, das wir gleich über B berechnen, muss durch diese Schrauben.

Der Träger ist statisch bestimmt — ein Fest- und ein Rollenlager, drei Unbekannte, drei Gleichungen —, die Auflagerkräfte folgen also unmittelbar aus der Statik, ohne Verträglichkeitsbedingung. Ersetzen Sie zunächst die Teil-Gleichlast durch ihre Resultierende: w = 8 kN/m über die 3 m von x = 1 bis x = 4 ergibt eine einzelne abwärts gerichtete Kraft

Bilden Sie nun die Momente um A. Ein Kräftepaar liefert seinen vollen Betrag, gleich wo es sitzt; das eingeprägte Moment M₀ = 15 kN·m geht also unverändert ein:

und das senkrechte Gleichgewicht schließt die andere Auflagerkraft:

Die Querkraft beginnt bei +R_A = +11.5 kN, fällt über die Gleichlast auf 11.5 − 24 = −12.5 kN bei x = 4 und hält diesen Wert bis B, wo die Auflagerkraft sie genau auf null schließt. Der ganze Kragarm trägt somit überhaupt keine Querkraft. Das Feldmoment erreicht seinen Größtwert dort, wo die Querkraft durch null geht, innerhalb der Gleichlast bei

Über dem Auflager in B ist das Moment auf die andere Seite umgeschlagen:

Irgendwo zwischen dem Größtwert und B muss das Moment also durch null gehen. Auf diesem Stück gilt , und Nullsetzen liefert

Hinter B bleibt das Moment über den Kragarm konstant bei −15 kN·m, bis das bei x = 7 eingeprägte Moment es aufhebt und den letzten Meter bis zur freien Spitze völlig unbeansprucht lässt.

Weil der Träger statisch bestimmt ist, kamen die Kräfte oben ohne jede Erwähnung von EI zustande — das Flächenträgheitsmoment des Kragarms zu halbieren (I₂ = 60×10⁶ mm⁴ gegenüber I₁ = 120×10⁶ mm⁴ im Feld) ändert keine Auflagerkraft und kein Moment. Es ändert nur die Biegelinie. Das Feld senkt sich im belasteten Bereich um rund 2.5 mm, und die freie Spitze hebt sich nach oben, während sich das Feld über dem Auflager in B zurückdreht.