Poutre avec porte-à-faux, charge uniforme partielle et moment appliqué
Trois classiques d’examen dans une seule poutre : une charge uniforme partielle (l’astuce de la résultante), un moment appliqué (qui fait sauter le diagramme de moment sans toucher à l’effort tranchant) et un point d’inflexion — l’endroit où le moment en travée devient négatif et où, en béton, on change la face d’armature. La poutre est isostatique : toutes les forces sortent directement de la statique.
- Travée
- A (articulation, x = 0) → B (appui simple, x = 6 m)
- Porte-à-faux
- B → extrémité libre en x = 8 m
- Charge uniforme
- 8 kN/m sur 1 m ≤ x ≤ 4 m
- Moment appliqué
- 15 kN·m (sens horaire) en x = 7 m
- 120 × 10⁶ mm⁴tronçon de la travée
- 60 × 10⁶ mm⁴tronçon du porte-à-faux
Étape 1 — Lisez l’assemblage en B avant de toucher aux nombres
Une platine d’about pleine hauteur boulonnée à travers les deux sections : le moment traverse, la poutre est donc continue.
Regardez de près le dessin en B (6 m), là où la poutre change de section : le tronçon de travée, plus raide (I₁ = 120×10⁶ mm⁴), rejoint le tronçon de porte-à-faux, moins haut (I₂ = 60×10⁶ mm⁴), juste au-dessus de l’appui simple. Les deux pièces sont assemblées bout à bout par des platines pleine hauteur boulonnées entre elles — un assemblage rigide par platine d’about. Comme les platines couvrent toute la hauteur et que les boulons les serrent au niveau des semelles, les semelles — les parties d’un profilé en I qui reprennent la flexion — disposent d’un chemin continu à travers l’assemblage. Le moment traverse : structurellement, c’est une poutre avec un décrochement de raideur, pas deux.
Comparez avec l’autre solution : une petite platine sur les âmes seules (une plaque d’about d’âme) transmet l’effort tranchant mais n’offre aucun chemin aux semelles : elle se comporte comme une rotule. Ici, ce serait fatal — la rotule et l’appui simple seraient au même point, et le porte-à-faux pourrait tourner librement autour de B sous les 15 kN·m appliqués en x = 7 m : un mécanisme, pas une structure. L’assemblage dessiné n’est pas décoratif ; le moment négatif que nous allons calculer au droit de B doit passer par ces boulons.
Étape 2 — Les réactions par la statique
Réduisez la charge uniforme à sa résultante, puis prenez les moments.
La poutre est isostatique — une articulation et un appui simple, trois inconnues, trois équations — les réactions sortent donc directement de la statique, sans compatibilité. Remplacez d’abord la charge uniforme partielle par sa résultante : w = 8 kN/m agissant sur les 3 m de x = 1 à x = 4 donne une force descendante unique
Prenez maintenant les moments autour de A. Un couple apporte toute sa valeur où qu’il se trouve, donc le moment appliqué M₀ = 15 kN·m entre tel quel :
et l’équilibre vertical ferme l’autre réaction :
Étape 3 — Le diagramme de l’effort tranchant et le pic en travée
Là où V = 0 le moment culmine — et le porte-à-faux entier ne reprend aucun effort tranchant.
L’effort tranchant part de +R_A = +11.5 kN, descend le long de la charge uniforme jusqu’à 11.5 − 24 = −12.5 kN en x = 4, puis conserve cette valeur jusqu’à B, où la réaction le ramène exactement à zéro. Le porte-à-faux entier ne reprend donc aucun effort tranchant. Le moment en travée culmine là où l’effort tranchant s’annule, à l’intérieur de la charge uniforme, en
Étape 4 — Moment sur appui en B et point d’inflexion
Là où M = 0 la courbure s’inverse — et c’est le porte-à-faux qui fait exister ce passage.
Au droit de l’appui en B le moment a basculé de l’autre côté :
Quelque part entre le pic et B le moment doit donc passer par zéro. Sur ce tronçon , et en l’annulant on obtient
Au-delà de B, le moment reste constant à −15 kN·m le long du porte-à-faux jusqu’à ce que le moment appliqué en x = 7 l’annule, laissant le dernier mètre jusqu’à l’extrémité libre entièrement déchargé.
Étape 5 — La flèche avec deux tronçons de raideur
Diviser I par deux sur le porte-à-faux déplace la forme, pas les efforts.
Comme la poutre est isostatique, les efforts ci-dessus ont été trouvés sans jamais mentionner EI — diviser par deux le moment quadratique du porte-à-faux (I₂ = 60×10⁶ mm⁴ contre I₁ = 120×10⁶ mm⁴ sur la travée) ne change aucune réaction ni aucun moment. Cela ne change que la déformée. La travée s’enfonce d’environ 2.5 mm dans la zone chargée, et l’extrémité libre remonte tandis que la travée pivote en arrière au-dessus de l’appui en B.
La preuve
Le calcul à la main contre le solveur.
| Grandeur | À la main | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| RA | 11.5 kN | 11.5 kN | |
| RB | 12.5 kN | 12.5 kN | |
| Moment maximal en travée | 19.766 kN·m à 2.4375 m | 19.766 kN·m à 2.437 m | |
| Moment sur appui en B | −15 kN·m | −15 kN·m à 6 m | |
| Effort tranchant maximal |V| | 12.5 kN (x = 4 m B) | 12.5 kN | |
| Point d’inflexion | M = 0 en x = 4.8 m | Le diagramme de moment passe par zéro à 4.8 m |
Chaque valeur a été calculée à la main par la méthode classique, puis confrontée au solveur de ce site — le moteur même qu’ouvre le bouton Essayer. Cette concordance est revérifiée automatiquement à chaque build.
À vous de jouer
Ouvrez ce modèle exact dans le calculateur — puis changez une charge, déplacez un appui, et regardez chaque diagramme se recalculer en temps réel. Le meilleur moyen d’acquérir de l’intuition, c’est de le casser et de voir ce qui se passe.
Emportez-le avec vous
Exportez cet exemple résolu en PDF, ou téléchargez-le en .screport et ouvrez-le dans le générateur de rapports — le modèle voyage dans le fichier : vous pouvez le reconstruire, le recalculer et bâtir votre propre rapport à partir de lui.