Einfeldträger unter Einzellast
Der andere Grundfall. Eine einzelne, außermittige Einzellast — die Symmetrie ist damit weg, die Auflagerkräfte müssen über Momente um ein Auflager erarbeitet werden, die Querkraftlinie springt statt zu fallen, und löst ab. Wir lösen sie in drei Schritten mit der Statik und prüfen danach jede Zahl gegen den Rechner.
- 6 mStützweite, Fest- bis Rollenlager
- Auflager
- Fest · Rollen
- 24 kNEinzellast bei a = 2 m von A (b = 4 m)
- 200 GPa
- 100 × 10⁶ mm⁴
- 20 000 kN·m²
Schritt 1 — Die Auflagerkräfte über Momente um A
Diesmal gibt es keine Symmetrie zum Anlehnen — die Statik muss beide Zahlen erarbeiten.
Beim Gleichlast-Beispiel schenkte die Symmetrie uns die Auflagerkräfte. Hier nicht: Die Last von 24 kN steht 2 m von A und 4 m von B entfernt, die Auflager tragen also ungleich, und wir müssen zurück zu den Grundlagen. Nehmen Sie die Momente um A — die Unbekannte geht durch den Drehpunkt und fällt heraus, sodass allein übrig bleibt:
Das Gleichgewicht in senkrechter Richtung liefert danach das andere Auflager — und es trifft genau die geschlossene Form :
Lesen Sie die Hebelarme in diesen Formeln: Der Anteil jedes Auflagers ist proportional zum Abstand der Last vom anderen Auflager. Die Last steht näher an A, also trägt A doppelt so viel. Diese beiden Zahlen bestimmen beide Diagramme im nächsten Schritt.
Schritt 2 — Querkraft und Moment, zusammen gezeichnet
Ein Sprung in V und ein Knick in M — die Handschrift der Einzellast.
Beginnen Sie in A mit der Auflagerkraft von +16 kN und gehen Sie nach rechts. Da nichts über die Länge verteilt ist, wird nichts abgebaut — V bleibt bis zur Last vollkommen waagerecht bei +16 kN. Dort fällt sie in einem einzigen Schritt um die vollen 24 kN auf −8 kN und bleibt bis B wieder waagerecht, wo die Auflagerkraft von 8 kN das Diagramm auf null schließt. Im Gegensatz zum stetigen Abfall beim Gleichlast-Beispiel lässt eine Einzellast die Querkraft springen.
Das Moment ist weiterhin die laufende Summe der Querkraft. Konstant positive Querkraft heißt ein gerader Anstieg von null in A, konstant negative ein gerader Abfall auf null in B. Beide Geraden treffen sich unmittelbar unter der Last — dort, wo V das Vorzeichen wechselt. Die Momentenlinie ist also ein Dreieck, und ihr Größtwert ist ein scharfer Knick statt des sanften Scheitels bei Gleichlast:
Schritt 3 — Die Durchbiegung unter der Last
Die Durchbiegung dort, wo die Last angreift — und warum der wahre Größtwert kurz dahinter liegt.
Für einen Einfeldträger unter außermittiger Einzellast lautet die klassische geschlossene Formel für die Durchbiegung unmittelbar unter der Last:
Ist das die größte Durchbiegung des Trägers? Fast, aber nicht ganz. Weil die Last außermittig steht, ist der längere 4-m-Abschnitt der weichere: Der tiefste Punkt der Biegelinie liegt daher leicht zu dieser Seite verschoben — ein Stück hinter der Last, nicht darunter. Der Unterschied ist klein; die Durchbiegungslinie unten zeigt die Form.
Der Nachweis
Die Handrechnung gegen den Solver.
| Größe | Von Hand | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| Auflagerkraft R_A | 16 kN (Pb/L) | 16 kN | |
| Auflagerkraft R_B | 8 kN (Pa/L) | 8 kN | |
| Größtes Moment M_max | 32 kN·m bei 2 m (Pab/L) | 32 kN·m bei 2 m | |
| δ unter der Last | 4.267 mm (Pa²b²/3EIL) | 4.267 mm |
Jeder Wert wurde von Hand mit dem klassischen Verfahren ermittelt und danach gegen den Solver dieser Website geprüft — dieselbe Engine, die die Schaltfläche Ausprobieren öffnet. Diese Übereinstimmung wird bei jedem Build automatisch neu geprüft.
Jetzt sind Sie dran
Öffnen Sie genau dieses Modell im Rechner — ändern Sie dann eine Last, ziehen Sie ein Auflager, und sehen Sie zu, wie sich jedes Diagramm in Echtzeit mitbewegt. Intuition gewinnt man am besten, indem man es kaputt macht und schaut, was passiert.
Zum Mitnehmen
Exportieren Sie dieses gelöste Beispiel als PDF oder laden Sie es als .screport herunter und öffnen Sie es im Berichtsgenerator — das Modell reist in der Datei mit, Sie können es also wiederherstellen, neu rechnen und Ihren eigenen Bericht daraus bauen.