Poutre sur deux appuis sous charge ponctuelle
L’autre poutre de base. Une seule charge concentrée, décentrée : la symétrie disparaît, les réactions se gagnent en prenant les moments sur un appui, le diagramme d’effort tranchant saute au lieu de glisser, et remplace . Nous la résolvons par la statique en trois étapes, puis vérifions chaque nombre avec le calculateur.
- 6 mportée, de l’articulation à l’appui simple
- Appuis
- Articulation · Appui simple
- 24 kNcharge ponctuelle en a = 2 m depuis A (b = 4 m)
- 200 GPa
- 100 × 10⁶ mm⁴
- 20 000 kN·m²
Étape 1 — Les réactions par les moments en A
Cette fois, pas de symétrie sur laquelle s’appuyer — la statique doit gagner les deux nombres.
Dans l’exemple à charge uniforme, la symétrie donnait les réactions gratuitement. Pas ici : la charge de 24 kN est à 2 m de A et à 4 m de B, les appuis se partagent donc inégalement et il faut revenir aux principes. Prenez les moments en A : l’inconnue passe par le pivot et disparaît, laissant seule :
L’équilibre vertical livre ensuite l’autre appui — et remarquez qu’il tombe exactement sur la formule fermée :
Lisez les bras de levier dans ces formules : la part de chaque appui est proportionnelle à la distance de la charge à l’autre appui. La charge est plus proche de A, donc A en reprend le double. Ces deux nombres commandent les deux diagrammes de l’étape suivante.
Étape 2 — Effort tranchant et moment, tracés ensemble
Un saut dans V et une brisure dans M — la signature de la charge ponctuelle.
Partez de A avec la réaction de +16 kN et avancez vers la droite. Rien n’étant réparti le long de la travée, rien ne retire d’effort tranchant : V reste parfaitement plat à +16 kN jusqu’à la charge. Là il chute des 24 kN d’un seul coup, à −8 kN, puis reste plat jusqu’à B, où la réaction de 8 kN referme le diagramme à zéro. À comparer à la descente régulière de l’exemple à charge uniforme : une charge ponctuelle fait sauter l’effort tranchant.
Le moment reste le cumul de l’effort tranchant. Un effort tranchant positif constant donne une montée droite depuis zéro en A ; un effort négatif constant, une descente droite jusqu’à zéro en B. Les deux droites se rejoignent juste sous la charge — là où V change de signe — : le diagramme du moment est donc un triangle, et son sommet est une brisure nette, non la crête douce de la charge uniforme :
Étape 3 — La flèche sous la charge
La flèche là où la charge tombe — et pourquoi le vrai maximum se cache juste au-delà.
Pour une poutre sur deux appuis sous charge ponctuelle décentrée, la formule fermée classique de la flèche juste sous la charge est :
Est-ce la flèche maximale de la poutre ? Presque, mais pas tout à fait. La charge étant décentrée, le segment long de 4 m est le plus souple : le point le plus bas de la courbe se décale donc vers ce côté — un peu au-delà de la charge, et non dessous. L’écart est faible ; le diagramme des flèches ci-dessous montre l’allure.
La preuve
Le calcul à la main contre le solveur.
| Grandeur | À la main | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| Réaction R_A | 16 kN (Pb/L) | 16 kN | |
| Réaction R_B | 8 kN (Pa/L) | 8 kN | |
| Moment maximal M_max | 32 kN·m à 2 m (Pab/L) | 32 kN·m à 2 m | |
| δ sous la charge | 4.267 mm (Pa²b²/3EIL) | 4.267 mm |
Chaque valeur a été calculée à la main par la méthode classique, puis confrontée au solveur de ce site — le moteur même qu’ouvre le bouton Essayer. Cette concordance est revérifiée automatiquement à chaque build.
À vous de jouer
Ouvrez ce modèle exact dans le calculateur — puis changez une charge, déplacez un appui, et regardez chaque diagramme se recalculer en temps réel. Le meilleur moyen d’acquérir de l’intuition, c’est de le casser et de voir ce qui se passe.
Emportez-le avec vous
Exportez cet exemple résolu en PDF, ou téléchargez-le en .screport et ouvrez-le dans le générateur de rapports — le modèle voyage dans le fichier : vous pouvez le reconstruire, le recalculer et bâtir votre propre rapport à partir de lui.