Auflagersetzung beim Durchlaufträger
Nirgends eine Last auf dem Träger — und trotzdem trägt er 36 kN·m Moment. Setzt sich ein Auflager eines statisch unbestimmten Trägers, lassen ihn die übrigen Auflager nicht frei folgen, und dieser Widerstreit biegt ihn. Ein statisch bestimmter Träger würde sich einfach schrägstellen und nichts davon spüren. Deshalb wiegen wenige Millimeter Setzung bei durchlaufenden Tragwerken so viel schwerer — und hier sehen wir genau, wie viel.
- System
- 2 Felder × 5 m
- Auflager
- Fest · Rollen · Rollen
- 200 GPa
- 150 × 10⁶ mm⁴
- 30 000 kN·m²
- Setzung
- 10 mm ↓als −10 eingegeben
- Äußere Last
- keine
Schritt 1 — Das überzählige Auflager freisetzen
Ein Auflager zu viel für die Statik — nehmen Sie es weg und stellen Sie stattdessen eine geometrische Frage.
Der Träger ist einfach statisch unbestimmt — ein Auflager zu viel für die Statik allein. Das Verträglichkeitsverfahren macht genau dieses überzählige Auflager zum Hauptdarsteller: Setzen Sie das Mittelauflager B frei, und übrig bleibt ein Einfeldträger über 2L = 10 m, mit dem die Statik zurechtkommt.
Sehen Sie nun, was der freigesetzte Träger tut. Unbelastet bleibt er vollkommen gerade. Doch das wirkliche Auflager liegt nicht mehr auf dieser Geraden — es hat sich gesetzt und steht 10 mm unter der Sehne, und der wirkliche Träger muss durch diesen Punkt gehen. Die Frage, die unsere fehlende Gleichung ersetzt, ist also rein geometrisch: Welche abwärts gerichtete Kraft F in Feldmitte erzeugt genau diese Durchbiegung von 10 mm?
Schritt 2 — Die Kraft, die die Setzung verlangt
Die Kraft finden, die das gesetzte Auflager aufnehmen muss.
Eine mittige Einzellast biegt einen Einfeldträger um durch; setzt man das gleich Δ:
Diese Kraft ist die Reaktion, mit der das gesetzte Auflager zieht. Das Gleichgewicht des ganzen Trägers verteilt sie anschließend auf die beiden Enden:
Achten Sie auf die Richtungen. Das Mittelauflager zieht nach unten: Durch das abgesunkene Auflager gezwungen, würde der Träger zurückfedern, wenn er könnte, und B muss ihn dort halten. In der Vorzeichenregel des Rechners, wo unten negativ ist, erscheint diese Reaktion als −14.4 kN — dieselbe Regel, mit der auch die Setzung eingegeben wird (10 mm nach unten → −10).
Schritt 3 — Das Moment, das er in den Träger biegt
Keine Last, und trotzdem 36 kN·m am gesetzten Auflager.
Nehmen Sie die Momente vom linken Ende bis zum gesetzten Auflager — auf dieser Strecke wirkt nur :
Schritt 4 — Das Bild, das die Verträglichkeitsbedingung zeichnet
Der Träger wird nach unten gezogen, bis er das Auflager erreicht.
Die Biegelinie macht die ganze Argumentation sichtbar: Der Träger biegt sich in B auf genau −10 mm herunter, trifft dort das gesetzte Auflager und kehrt an den beiden noch gehaltenen Enden auf null zurück. Diese eine geometrische Bedingung — „der Träger muss durch das abgesunkene Auflager gehen“ — hat sämtliche Kräfte oben erzeugt.
Der Nachweis
Die Handrechnung gegen den Solver.
| Größe | Von Hand | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| Gewecktes Moment in B | 36 kN·m (3EIΔ/L²) | 36 kN·m @ 5 m | |
| Endauflagerkräfte R_A, R_C | 7.2 kN ↑ | 7.2 kN | |
| Auflagerkraft R_B | 14.4 kN ↓ | −14.4 kN | |
| Durchbiegung in B | −10 mm | −10 mm @ 5 m | |
| Äußere Last | null | null |
Jeder Wert wurde von Hand mit dem klassischen Verfahren ermittelt und danach gegen den Solver dieser Website geprüft — dieselbe Engine, die die Schaltfläche Ausprobieren öffnet. Diese Übereinstimmung wird bei jedem Build automatisch neu geprüft.
Jetzt sind Sie dran
Öffnen Sie genau dieses Modell im Rechner — ändern Sie dann eine Last, ziehen Sie ein Auflager, und sehen Sie zu, wie sich jedes Diagramm in Echtzeit mitbewegt. Intuition gewinnt man am besten, indem man es kaputt macht und schaut, was passiert.
Zum Mitnehmen
Exportieren Sie dieses gelöste Beispiel als PDF oder laden Sie es als .screport herunter und öffnen Sie es im Berichtsgenerator — das Modell reist in der Datei mit, Sie können es also wiederherstellen, neu rechnen und Ihren eigenen Bericht daraus bauen.