Tassement d’appui dans une poutre continue
Aucune charge sur la poutre — et pourtant elle porte 36 kN·m de moment. Quand un appui d’une poutre hyperstatique tasse, les autres appuis refusent de la laisser suivre librement, et cette lutte la fléchit. Une poutre isostatique se contenterait de basculer sans rien ressentir. C’est pourquoi quelques millimètres de tassement comptent tellement plus pour les structures continues — et nous allons voir exactement combien.
- Configuration
- 2 travées × 5 m
- Appuis
- Articulation · Appui simple · Appui simple
- 200 GPa
- 150 × 10⁶ mm⁴
- 30 000 kN·m²
- Tassement
- 10 mm ↓saisi −10
- Charge appliquée
- aucune
Étape 1 — Libérer l’appui surabondant
Un appui de trop pour la statique — enlevez-le et posez plutôt une question de géométrie.
La poutre est hyperstatique du premier degré — un appui de trop pour la seule statique. La méthode de compatibilité fait de cet appui surabondant la vedette : libérez l’appui central B, et il reste une poutre sur deux appuis de 2L = 10 m, que la statique sait traiter.
Observez maintenant ce que fait la poutre libérée. Sans charge, elle reste parfaitement droite. Mais l’appui réel n’est plus sur cette droite — il a tassé et se trouve 10 mm sous la corde, et la poutre réelle doit passer par lui. La question qui remplace notre équation manquante est donc purement géométrique : quelle force descendante F à mi-portée produit exactement cette flèche de 10 mm ?
Étape 2 — La force qu’exige le tassement
Trouver la force que doit reprendre l’appui tassé.
Une charge ponctuelle centrée fléchit une poutre sur deux appuis de ; en égalant cela à Δ :
Cette force est la réaction avec laquelle tire l’appui tassé. L’équilibre de la poutre entière la répartit ensuite entre les deux extrémités :
Regardez les sens. L’appui central tire vers le bas : contrainte de passer par l’appui descendu, la poutre remonterait si elle le pouvait, et B doit l’y maintenir. Dans la convention du calculateur, où le bas est négatif, cette réaction s’affiche à −14.4 kN — la même convention que celle de la saisie du tassement (10 mm vers le bas → −10).
Étape 3 — Le moment qu’il imprime à la poutre
Aucune charge, et pourtant 36 kN·m à l’appui tassé.
Prenez les moments depuis l’extrémité gauche jusqu’à l’appui tassé — seule agit sur cette portée :
Étape 4 — L’image que dessine la condition de compatibilité
La poutre est entraînée vers le bas jusqu’à rejoindre l’appui.
La déformée rend tout le raisonnement visible : la poutre descend jusqu’à exactement −10 mm en B, où elle rejoint l’appui tassé, et remonte à zéro aux deux extrémités où elle reste appuyée. Cette unique condition géométrique — « la poutre doit passer par l’appui descendu » — est ce qui a engendré toutes les forces ci-dessus.
La preuve
Le calcul à la main contre le solveur.
| Grandeur | À la main | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| Moment induit en B | 36 kN·m (3EIΔ/L²) | 36 kN·m @ 5 m | |
| Réactions d’extrémité R_A, R_C | 7.2 kN ↑ | 7.2 kN | |
| Réaction d’appui R_B | 14.4 kN ↓ | −14.4 kN | |
| Flèche en B | −10 mm | −10 mm @ 5 m | |
| Charge appliquée | nulle | nulle |
Chaque valeur a été calculée à la main par la méthode classique, puis confrontée au solveur de ce site — le moteur même qu’ouvre le bouton Essayer. Cette concordance est revérifiée automatiquement à chaque build.
À vous de jouer
Ouvrez ce modèle exact dans le calculateur — puis changez une charge, déplacez un appui, et regardez chaque diagramme se recalculer en temps réel. Le meilleur moyen d’acquérir de l’intuition, c’est de le casser et de voir ce qui se passe.
Emportez-le avec vous
Exportez cet exemple résolu en PDF, ou téléchargez-le en .screport et ouvrez-le dans le générateur de rapports — le modèle voyage dans le fichier : vous pouvez le reconstruire, le recalculer et bâtir votre propre rapport à partir de lui.