Einfeldträger unter Gleichlast
Die Aufgabe, die jede Ingenieurin zuerst rechnet. Ein Feld, eine Gleichlast — und die beiden Formeln ( und ), auf denen alles Weitere ruht. Wir lösen sie in drei Schritten mit der Statik und prüfen danach jede Zahl gegen den Rechner.
- 6 mStützweite, Fest- bis Rollenlager
- Auflager
- Fest · Rollen
- 10 kN/mGleichlast über das ganze Feld
- 200 GPa
- 100 × 10⁶ mm⁴
- 20 000 kN·m²
Schritt 1 — Die Auflagerkräfte aus der Symmetrie
Verteilen Sie die Gesamtlast auf zwei gleiche Auflager.
Die Gesamtlast beträgt = 10 × 6 = 60 kN, und ihre Resultierende greift in Feldmitte an. Da Geometrie und Belastung vollkommen symmetrisch zur Mitte sind, kann kein Auflager bevorzugt sein — jedes trägt genau die Hälfte:
Dasselbe Ergebnis liefern = 0 und = 0, aber die Symmetrie schenkt es einem. Diese beiden Auflagerkräfte sind die Grundlage beider Diagramme im nächsten Schritt.
Schritt 2 — Querkraft und Moment, zusammen gezeichnet
Eine Gerade, eine Parabel — und der Nulldurchgang, der beide verbindet.
Beginnen Sie in A mit der Auflagerkraft von +30 kN und gehen Sie nach rechts. Die Gleichlast baut die Querkraft mit der konstanten Rate w ab, sie fällt also linear und geht in Feldmitte durch null:
Dieser Nulldurchgang ist die nützlichste Stelle des ganzen Blattes, denn das Moment ist die laufende Summe der Querkraft: Solange V positiv ist, wächst das Moment, und genau dort, wo V durch null geht, erreicht es seinen Größtwert. Integrieren (oder den Träger schneiden und die Momente links aufsummieren) liefert die Parabel:
Schritt 3 — Die Durchbiegung, und ob sie zählt
Die klassische geschlossene Formel — und dann die Kontrolle, die ein Ingenieurbüro wirklich durchführt.
Das klassische Ergebnis in Feldmitte für einen Einfeldträger unter voller Gleichlast folgt aus der zweifachen Integration des Moments gegen die Steifigkeit :
Sind 8.44 mm zulässig? Vergleichen Sie mit der Stützweite: = 6000⁄8.44 ≈ 711 — deutlich steifer als ein üblicher Grenzwert von L/250. Der Träger hält die Durchbiegung also ein.
Der Nachweis
Die Handrechnung gegen den Solver.
| Größe | Von Hand | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| Auflagerkraft R_A = R_B | 30 kN (wL/2) | 30 kN | |
| Größte Querkraft |V| | 30 kN an den Auflagern | 30 kN | |
| Größtes Moment M_max | 45 kN·m bei 3 m (wL²/8) | 45 kN·m bei 3 m | |
| Größte Durchbiegung δ_max | 8.4375 mm bei 3 m (5wL⁴/384EI) | 8.438 mm bei 3 m |
Jeder Wert wurde von Hand mit dem klassischen Verfahren ermittelt und danach gegen den Solver dieser Website geprüft — dieselbe Engine, die die Schaltfläche Ausprobieren öffnet. Diese Übereinstimmung wird bei jedem Build automatisch neu geprüft.
Jetzt sind Sie dran
Öffnen Sie genau dieses Modell im Rechner — ändern Sie dann eine Last, ziehen Sie ein Auflager, und sehen Sie zu, wie sich jedes Diagramm in Echtzeit mitbewegt. Intuition gewinnt man am besten, indem man es kaputt macht und schaut, was passiert.
Zum Mitnehmen
Exportieren Sie dieses gelöste Beispiel als PDF oder laden Sie es als .screport herunter und öffnen Sie es im Berichtsgenerator — das Modell reist in der Datei mit, Sie können es also wiederherstellen, neu rechnen und Ihren eigenen Bericht daraus bauen.