Poutre sur deux appuis sous charge uniforme
Le problème que tout ingénieur résout en premier. Une seule travée, une charge uniforme — et les deux formules ( et ) sur lesquelles repose tout le reste. Nous le résolvons par la statique en trois étapes, puis vérifions chaque nombre avec le calculateur.
- 6 mportée, de l’articulation à l’appui simple
- Appuis
- Articulation · Appui simple
- 10 kN/mcharge uniforme sur toute la travée
- 200 GPa
- 100 × 10⁶ mm⁴
- 20 000 kN·m²
Étape 1 — Les réactions par symétrie
Répartissez la charge totale entre deux appuis identiques.
La charge totale vaut = 10 × 6 = 60 kN, et sa résultante s’applique à mi-portée. Comme la géométrie et le chargement sont parfaitement symétriques par rapport au centre, aucun appui ne peut être privilégié : chacun en reprend exactement la moitié.
On obtiendrait le même résultat avec = 0 et = 0, mais la symétrie le donne gratuitement. Ces deux réactions fondent les deux diagrammes de l’étape suivante.
Étape 2 — Effort tranchant et moment, tracés ensemble
Une droite, une parabole — et le passage par zéro qui les relie.
Partez de A avec la réaction de +30 kN et avancez vers la droite. La charge uniforme retire de l’effort tranchant à la cadence constante w : l’effort décroît linéairement et s’annule à mi-portée.
Ce passage par zéro est le point le plus utile de toute la feuille, car le moment est le cumul de l’effort tranchant : tant que V est positif le moment monte, et à l’instant où V s’annule le moment culmine. En intégrant (ou en coupant la poutre et en sommant les moments à gauche) on obtient la parabole :
Étape 3 — La flèche, et si elle compte
La formule fermée classique, puis le contrôle qu’un bureau d’études fait réellement.
Le résultat classique à mi-portée pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme complète vient de la double intégration du moment rapportée à la raideur :
8.44 mm, est-ce acceptable ? Comparez à la portée : = 6000⁄8.44 ≈ 711 — nettement plus raide qu’une limite courante de L/250 : cette poutre est donc bonne en flèche.
La preuve
Le calcul à la main contre le solveur.
| Grandeur | À la main | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| Réaction R_A = R_B | 30 kN (wL/2) | 30 kN | |
| Effort tranchant maximal |V| | 30 kN aux appuis | 30 kN | |
| Moment maximal M_max | 45 kN·m à 3 m (wL²/8) | 45 kN·m à 3 m | |
| Flèche maximale δ_max | 8.4375 mm à 3 m (5wL⁴/384EI) | 8.438 mm à 3 m |
Chaque valeur a été calculée à la main par la méthode classique, puis confrontée au solveur de ce site — le moteur même qu’ouvre le bouton Essayer. Cette concordance est revérifiée automatiquement à chaque build.
À vous de jouer
Ouvrez ce modèle exact dans le calculateur — puis changez une charge, déplacez un appui, et regardez chaque diagramme se recalculer en temps réel. Le meilleur moyen d’acquérir de l’intuition, c’est de le casser et de voir ce qui se passe.
Emportez-le avec vous
Exportez cet exemple résolu en PDF, ou téléchargez-le en .screport et ouvrez-le dans le générateur de rapports — le modèle voyage dans le fichier : vous pouvez le reconstruire, le recalculer et bâtir votre propre rapport à partir de lui.