Einfeldträger unter Dreieckslast
Die erste Last, die sich weigert, gleichmäßig zu sein. Eine ansteigende Last — null am einen Ende, 15 kN/m am anderen — und ein klassischer Kniff: das Dreieck auf eine einzige Kraft in seinem Schwerpunkt zusammenziehen. Die Auflagerkräfte folgen aus der Drittelregel, die Querkraft wird zur Parabel, und das größte Moment wandert aus der Feldmitte nach . Vier Schritte mit der Statik, danach jede Zahl gegen den Rechner geprüft.
- 6 mStützweite, Fest- bis Rollenlager
- Auflager
- Fest · Rollen
- 0 → 15 kN/mdreieckförmig, Größtwert in B
- 200 GPa
- 100 × 10⁶ mm⁴
Schritt 1 — Das Dreieck durch seine Resultierende ersetzen
Eine einzige Kraft im Schwerpunkt vertritt die ganze ansteigende Last — das ist der Kniff.
Die Last steigt von null in A auf = 15 kN/m in B. Für die Auflagerkräfte brauchen wir den Anstieg nicht — nur seine Summe und ihren Angriffspunkt. Die Summe ist die Fläche des Lastdreiecks, und sie greift im Schwerpunkt des Dreiecks an, der zwei Drittel des Weges zum schweren Ende liegt:
Diese eine Kraft von 45 kN in 4 m Abstand ist dem ganzen verteilten Dreieck statisch gleichwertig — für die Ermittlung der Auflagerkräfte. Merken Sie sich den Vorbehalt; er kommt in Schritt 4 zurück.
Schritt 2 — Die Auflagerkräfte aus der Drittelregel
Das Auflager unter dem schweren Ende trägt genau das Doppelte des anderen.
Ist die Resultierende gesetzt, ist die Statik zwei Zeilen lang. Momente um A — die 45 kN greifen bei 4 m an, also:
Die Aufteilung lohnt sich zu merken: Eine Dreieckslast schickt ein Drittel der Summe an das Auflager am Nullende und zwei Drittel an das Auflager unter dem Größtwert — das schwere Ende bekommt genau das Doppelte des leichten, weil die Resultierende ihm doppelt so nahe steht. Probe: 15 + 30 = 45 kN ✓.
Schritt 3 — Parabelförmige Querkraft, kubisches Moment
Die anwachsende Last hebt jede Kurve gegenüber dem Gleichlastfall um einen Grad an.
Beginnen Sie in A mit der Auflagerkraft von +15 kN und gehen Sie nach rechts. Die Lastordinate an der Stelle x beträgt — sie wächst stetig —, die bis x aufgesammelte Last ist also ein kleines Dreieck der Fläche . Die Querkraft fällt daher entlang einer Parabel und nicht einer Geraden: anfangs sanft, wo kaum Last liegt, dann immer steiler in Richtung B:
Der Nulldurchgang ist die Stelle des größten Moments — und sie liegt nicht in Feldmitte. Ein weiteres Integrieren der Querkraft liefert eine kubische Momentenlinie:
Die ganze Reihenfolge steigt gegenüber dem Gleichlast-Beispiel um einen Grad: Konstante Last ergab lineare Querkraft und parabolisches Moment; linear anwachsende Last ergibt parabolische Querkraft und kubisches Moment. Und der Größtwert wandert zum schweren Ende — nach —, weil dort die aufgesammelte Last die Auflagerkraft endlich aufhebt.
Schritt 4 — Die Form erzählt dieselbe Geschichte
Die Durchbiegung neigt sich zum schweren Ende — und der Kniff mit der Resultierenden zeigt seine Grenze.
Die Biegelinie sagt anschaulich, was die Diagramme in Zahlen sagten: Der Träger hängt überall durch, doch der tiefste Punkt liegt knapp hinter der Feldmitte, zu B hin verschoben — das schwere Ende zieht die ganze Kurve zu sich. Eine geschlossene Formel braucht es hier nicht; das Bild trägt den Gedanken.
Der Nachweis
Die Handrechnung gegen den Solver.
| Größe | Von Hand | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| Auflagerkraft R_A | 15 kN (W/3) | 15 kN | |
| Auflagerkraft R_B | 30 kN (2W/3) | 30 kN | |
| Querkraft-Nulldurchgang V = 0 | bei L/√3 = 3.464 m | 3.464 m | |
| Größtes Moment M_max | 34.64 kN·m bei 3.464 m (w₀L²/9√3) | 34.64 kN·m |
Jeder Wert wurde von Hand mit dem klassischen Verfahren ermittelt und danach gegen den Solver dieser Website geprüft — dieselbe Engine, die die Schaltfläche Ausprobieren öffnet. Diese Übereinstimmung wird bei jedem Build automatisch neu geprüft.
Jetzt sind Sie dran
Öffnen Sie genau dieses Modell im Rechner — ändern Sie dann eine Last, ziehen Sie ein Auflager, und sehen Sie zu, wie sich jedes Diagramm in Echtzeit mitbewegt. Intuition gewinnt man am besten, indem man es kaputt macht und schaut, was passiert.
Zum Mitnehmen
Exportieren Sie dieses gelöste Beispiel als PDF oder laden Sie es als .screport herunter und öffnen Sie es im Berichtsgenerator — das Modell reist in der Datei mit, Sie können es also wiederherstellen, neu rechnen und Ihren eigenen Bericht daraus bauen.