Poutre sur deux appuis sous charge triangulaire
La première charge qui refuse d’être uniforme. Une rampe de charge — zéro à une extrémité, 15 kN/m à l’autre — et une astuce classique : réduire le triangle à une force unique appliquée en son centre de gravité. Les réactions tombent par la règle des tiers, l’effort tranchant devient une parabole, et le moment maximal quitte la mi-portée pour . Quatre étapes par la statique, puis chaque nombre vérifié avec le calculateur.
- 6 mportée, de l’articulation à l’appui simple
- Appuis
- Articulation · Appui simple
- 0 → 15 kN/mtriangulaire, maximum en B
- 200 GPa
- 100 × 10⁶ mm⁴
Étape 1 — Remplacer le triangle par sa résultante
Une force unique au centre de gravité remplace toute la rampe de charge — voilà l’astuce.
La charge monte de rien en A à = 15 kN/m en B. Pour les réactions, la rampe est inutile — seuls comptent son total et son point d’application. Le total est l’aire du triangle de charge, et il s’applique au centre de gravité du triangle, situé aux deux tiers du chemin vers l’extrémité chargée :
Cette force unique de 45 kN, placée à 4 m, est statiquement équivalente à tout le triangle réparti — pour le calcul des réactions. Retenez la réserve : elle revient à l’étape 4.
Étape 2 — Les réactions par la règle des tiers
L’appui sous l’extrémité chargée reprend exactement le double de l’autre.
Une fois la résultante placée, la statique tient en deux lignes. Moments autour de A — les 45 kN agissent à 4 m, donc :
Le partage mérite d’être retenu : une charge triangulaire envoie un tiers du total à l’appui du côté nul et deux tiers à l’appui sous le maximum — l’extrémité chargée reprend exactement le double de l’extrémité légère, parce que la résultante en est deux fois plus proche. Vérification : 15 + 30 = 45 kN ✓.
Étape 3 — Un effort tranchant parabolique et un moment cubique
La charge croissante élève d’un degré chaque courbe par rapport au cas de la charge uniforme.
Partez de A avec la réaction de +15 kN et avancez vers la droite. L’intensité de charge en x vaut — elle ne cesse de croître — si bien que la charge accumulée jusqu’en x est un petit triangle d’aire . L’effort tranchant décroît donc selon une parabole, et non une droite : doucement d’abord, là où il n’y a presque pas de charge, puis de plus en plus vite vers B :
Le passage par zéro est l’endroit où le moment culmine — et remarquez que ce n’est pas la mi-portée. En intégrant l’effort tranchant une fois de plus, on obtient une courbe de moment cubique :
Toute la hiérarchie monte d’un degré par rapport à l’exemple à charge uniforme : la charge constante donnait un effort tranchant linéaire et un moment parabolique ; la charge croissant linéairement donne un effort parabolique et un moment cubique. Et le maximum glisse vers l’extrémité chargée — jusqu’à — parce que c’est là que la charge accumulée finit par annuler la réaction.
Étape 4 — La forme raconte la même histoire
La flèche penche vers l’extrémité chargée — et l’astuce de la résultante montre sa limite.
La déformée dit qualitativement ce que les diagrammes disaient en chiffres : la poutre fléchit partout, mais le point bas se situe juste après la mi-portée, décalé vers B — l’extrémité chargée tire toute la courbe de son côté. Aucune formule fermée n’est nécessaire ici ; l’image porte l’idée.
La preuve
Le calcul à la main contre le solveur.
| Grandeur | À la main | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| Réaction R_A | 15 kN (W/3) | 15 kN | |
| Réaction R_B | 30 kN (2W/3) | 30 kN | |
| Effort tranchant nul V = 0 | à L/√3 = 3.464 m | 3.464 m | |
| Moment maximal M_max | 34.64 kN·m à 3.464 m (w₀L²/9√3) | 34.64 kN·m |
Chaque valeur a été calculée à la main par la méthode classique, puis confrontée au solveur de ce site — le moteur même qu’ouvre le bouton Essayer. Cette concordance est revérifiée automatiquement à chaque build.
À vous de jouer
Ouvrez ce modèle exact dans le calculateur — puis changez une charge, déplacez un appui, et regardez chaque diagramme se recalculer en temps réel. Le meilleur moyen d’acquérir de l’intuition, c’est de le casser et de voir ce qui se passe.
Emportez-le avec vous
Exportez cet exemple résolu en PDF, ou téléchargez-le en .screport et ouvrez-le dans le générateur de rapports — le modèle voyage dans le fichier : vous pouvez le reconstruire, le recalculer et bâtir votre propre rapport à partir de lui.