Rahmen mit gelenkigen Füßen unter Schwerelast
Der Rahmen, aus dem jede Industriehalle des Landes besteht. Zwei Stiele, ein Riegel, biegesteife Knoten, gelenkige Füße — und eine Zahl, die die Statik schlicht nicht liefern kann.
- Spannweite
- 6 mvon Achse zu Achse der Stiele
- Höhe
- 4 mvom Fuß bis zur Rahmenecke
- 10 kN/mGleichlast aus Schwerkraft auf dem Riegel
- 200 GPa
- 5000 mm²
- 100 × 10⁶ mm⁴alle drei Stäbe
- Fußpunkte
- gelenkigeinfach statisch unbestimmt
Teil 1, Schritt 1 — Den Rahmen zeichnen
Vier Knoten, drei Stäbe — getippt, nicht geklickt.
Öffnen Sie den Rahmen-Rechner und nutzen Sie die Befehlszeile unten. Tippen ist hier keine Abkürzung für die Maus — es ist der Weg zur exakten Geometrie. Ein nach Augenmaß gezeichneter Rahmen ist ein Rahmen, dessen Spannweite Sie nicht angeben können.
Setzen Sie die vier Ecken — linker Fuß, linke Rahmenecke, rechte Rahmenecke, rechter Fuß:
N 0,0 N 0,4 N 6,4 N 6,0
Dann verbinden Sie sie. M 1 2 bedeutet „ein Stab von Knoten 1 zu Knoten 2“ — der linke Stiel:
M 1 2 M 2 3 M 4 3
Beachten Sie, dass der letzte von 4 → 3 verläuft, nicht von 3 → 4. Beide Stiele zeigen dann nach oben, ihre lokalen Achsen stimmen überein, und die Stabendkräfte in der Ergebnistabelle lassen sich nebeneinander vergleichen, ohne eine davon im Kopf umzudrehen.
Teil 1, Schritt 2 — Die Fußpunkte gelenkig lagern
Die Entscheidung, die das Verhalten des ganzen Rahmens bestimmt.
Beide Fußpunkte sind gelenkig: Sie halten den Rahmen fest und verhindern das Gleiten, lassen den Stiel aber verdrehen. In der Befehlszeile liest sich S 1 P als „Knoten 1 ist gelenkig gelagert“:
S 1 P S 4 P
Diese eine Entscheidung trennt zwei völlig verschiedene Tragwerke. Ein gelenkiger Fußpunkt trägt kein Moment, das Fundament sieht also nur eine senkrechte Last und einen waagerechten Schub. Ein eingespannter Fußpunkt trägt zusätzlich Moment — ein steiferer Rahmen, aber ein weit teureres Fundament.
Mit gelenkigen Fußpunkten ist dieser Rahmen einfach statisch unbestimmt: drei Gleichgewichtsbedingungen, vier unbekannte Auflagergrößen. Die Statik allein bringt die Aufgabe nicht zu Ende — und genau dort verdient der Solver sein Geld.
Teil 1, Schritt 3 — Querschnitt und Last
Eine Gleichlast aus Schwerkraft über den Riegel — und der Querschnitt, der sie trägt.
Geben Sie zunächst allen Stäben denselben Querschnitt — , , , was einem 310UB nahekommt. In der Tabelle der Stabkennwerte ist das Gruppe 1, und alle drei Stäbe verweisen bereits darauf.
Belasten Sie dann den Riegel mit nach unten. Auf dieser Seite ist Schwerkraft negativ — unten ist die negative y-Richtung, der Wert lautet also :
L 2 -10
Das ist das ganze Modell: vier Knoten, drei Stäbe, zwei Auflager, eine Last. Die Ergebnisse erscheinen beim Tippen — es gibt keinen eigenen Rechenknopf.
Teil 2, Schritt 1 — Was die Statik umsonst liefert
Zwei der vier Auflagergrößen, noch bevor irgendeine Steifigkeit ins Spiel kommt.
Dem senkrechten Gleichgewicht ist es gleich, ob der Rahmen statisch unbestimmt ist. Die gesamte Last muss auf den beiden Fußpunkten ankommen:
Und der Rahmen ist symmetrisch — gleiche Geometrie, gleicher Querschnitt, gleiche Last beiderseits der Mittelachse —, die beiden Fußpunkte teilen sie sich also zu gleichen Teilen:
Der Solver stimmt exakt überein: 60 kN insgesamt, 30 kN an jedem Fußpunkt.
Die Fußmomente sind definitionsgemäß null — das bedeutet „gelenkig“ —, und der Solver liefert 0 kN·m, also null im Rahmen der Rundung.
Teil 2, Schritt 2 — Der waagerechte Schub
Die Zahl, die die Statik nicht liefern kann — und der Grund, warum ein Rahmen kein Fachwerk ist.
Jetzt der interessante Teil. Der Riegel will sich durchbiegen; weil seine Enden biegesteif an die Stiele anschließen, kann er das nicht, ohne sie nach außen zu biegen. Die Stiele halten dagegen, und dieses Dagegenhalten ist eine echte waagerechte Auflagerkraft an jedem Fußpunkt — der Schub, an beiden Füßen nach innen gerichtet:
Das waagerechte Gleichgewicht ist weiterhin erfüllt: Die beiden Schubkräfte sind gleich groß und entgegengesetzt, ihre Summe ist null. Aber keine der beiden folgt aus allein — diese Gleichung sagt nur, dass sie sich aufheben, nicht wie groß sie sind. Ihre Größe hängt von der relativen Steifigkeit von Riegel und Stielen ab, also genau von der Information, die die Statik wegwirft und das Weggrößenverfahren behält.
Darin besteht der ganze Unterschied zwischen Rahmen und Fachwerk. Ersetzen Sie die biegesteifen Knoten durch Gelenke, und der Schub verschwindet: Der Riegel biegt sich einfach durch, und die Stiele tragen nichts als Normalkraft.
Teil 2, Schritt 3 — Die Verformungsfigur lesen
Das Bild, das Ihnen sagt, ob das Modell stimmt.
Schalten Sie die Verformungsfigur ein. Unter symmetrischer Schwerelast muss sich der Rahmen symmetrisch verformen: Der Riegel biegt sich durch, beide Rahmenecken rücken leicht nach innen, und es gibt überhaupt keine Seitenverschiebung.
Neigt sich Ihre Verformungsfigur zur Seite, stimmt etwas am Modell nicht — und nicht am Tragwerk. Meist ist ein Auflager am falschen Knoten eingegeben oder eine Last auf den falschen Stab gelegt worden. Die Verformungsfigur ist die schnellste Fehlerkontrolle, die es gibt, und sie kostet einen Klick.
Handrechnung gegen den Solver
Alles, was die Statik festlegen kann, festgelegt.
Die Statik legt drei der vier folgenden Größen unmittelbar fest; die vierte — der Schub — ist die statisch unbestimmte, und sie wird hier als eigenes Ergebnis des Solvers ausgewiesen statt gegen einen Handwert geprüft, denn ohne die vollständige Rechnung nach dem Kraftgrößenverfahren gibt es keinen Handwert, gegen den man prüfen könnte.
| Größe | Von Hand | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| Summe der senkrechten Auflagerkräfte | 60 kN | 60 kN | |
| Senkrechte Auflagerkraft je Fußpunkt | 30 kN | 30 kN | |
| Fußmoment (gelenkig) | 0 | 0 kN·m | |
| Waagerechter Schub | statisch unbestimmt | 5.188 kN |
Jeder Wert wurde von Hand mit dem klassischen Verfahren ermittelt und danach gegen den Solver dieser Website geprüft — dieselbe Engine, die die Schaltfläche Ausprobieren öffnet. Diese Übereinstimmung wird bei jedem Build automatisch neu geprüft.
Jetzt sind Sie dran
Öffnen Sie genau dieses Modell im Rechner — ändern Sie dann eine Last, ziehen Sie ein Auflager, und sehen Sie zu, wie sich jedes Diagramm in Echtzeit mitbewegt. Intuition gewinnt man am besten, indem man es kaputt macht und schaut, was passiert.
Zum Mitnehmen
Exportieren Sie dieses gelöste Beispiel als PDF oder laden Sie es als .screport herunter und öffnen Sie es im Berichtsgenerator — das Modell reist in der Datei mit, Sie können es also wiederherstellen, neu rechnen und Ihren eigenen Bericht daraus bauen.