Portique à pieds articulés sous charge de pesanteur

Ouvrez le Calculateur de portiques et utilisez la ligne de commande en bas. Ici, taper n’est pas un raccourci pour la souris : c’est ainsi que l’on obtient la géométrie exacte. Un portique dessiné à l’œil est un portique dont vous ne pouvez pas citer la portée.

Placez les quatre angles — pied gauche, jarret gauche, jarret droit, pied droit :

N 0,0 N 0,4 N 6,4 N 6,0

Reliez-les ensuite. M 1 2 signifie « une barre du nœud 1 au nœud 2 » — le poteau gauche :

M 1 2 M 2 3 M 4 3

Remarquez que la dernière va de 4 → 3, et non de 3 → 4. Les deux poteaux pointent alors vers le haut, leurs axes locaux concordent, et les efforts aux extrémités de barre du tableau de résultats se comparent côte à côte sans avoir à en inverser un mentalement.

Les deux pieds sont articulés : ils retiennent le portique et l’empêchent de glisser, mais laissent le poteau tourner. Dans la ligne de commande, S 1 P se lit « le nœud 1 est articulé » :

S 1 P S 4 P

Ce seul choix sépare deux structures complètement différentes. Un pied articulé ne reprend aucun moment : la fondation ne voit qu’une charge verticale et une poussée horizontale. Un pied encastré reprend aussi du moment — un portique plus rigide, mais une semelle bien plus chère.

Avec des pieds articulés, ce portique est hyperstatique de degré 1 : trois équations de la statique, quatre réactions inconnues. La statique seule ne finit pas le travail — et c’est exactement là que le solveur gagne sa place.

Donnez d’abord la même section à toutes les barres — , , , ce qui est proche d’un 310UB. Dans le tableau des caractéristiques de barre, c’est le groupe 1, et les trois barres y renvoient déjà.

Chargez ensuite la traverse avec vers le bas. Sur ce site, la gravité est négative : le bas est le sens y négatif, la valeur est donc :

L 2 -10

C’est tout le modèle : quatre nœuds, trois barres, deux appuis, une charge. Les résultats apparaissent au fur et à mesure de la saisie — il n’y a pas de bouton « résoudre » à part.

L’équilibre vertical se moque de savoir si le portique est hyperstatique. Toute la charge doit descendre sur les deux pieds :

Et le portique est symétrique — même géométrie, même section, même charge de part et d’autre de l’axe — si bien que les deux pieds se la partagent également :

Le solveur est exactement d’accord : 60 kN au total, 30 kN à chaque pied.

Les moments en pied sont nuls par définition — c’est ce que veut dire « articulé » — et le solveur renvoie 0 kN·m, c’est-à-dire zéro à l’arrondi près.

Voici la partie intéressante. La traverse veut fléchir ; comme ses extrémités sont encastrées dans les poteaux, elle ne peut pas fléchir sans les écarter en flexion. Les poteaux repoussent, et cette poussée est une véritable réaction horizontale à chaque pied — la poussée, dirigée vers l’intérieur aux deux pieds :

L’équilibre horizontal reste satisfait : les deux poussées sont égales et opposées, leur somme est donc nulle. Mais aucune des deux ne s’obtient à partir de seule — cette équation dit seulement qu’elles s’annulent, pas leur grandeur. Celle-ci dépend de la rigidité relative de la traverse et des poteaux, c’est-à-dire précisément l’information que la statique jette et que la méthode des rigidités conserve.

C’est là toute la différence entre un portique et un treillis. Remplacez les nœuds rigides par des articulations et la poussée disparaît : la traverse fléchit simplement et les poteaux ne reprennent que de l’effort normal.

Activez la déformée. Sous une charge de gravité symétrique, le portique doit se déformer symétriquement : la traverse fléchit, les deux jarrets rentrent légèrement, et il n’y a aucun déplacement latéral.

Si votre déformée penche d’un côté, c’est le modèle qui cloche, pas la structure — le plus souvent un appui saisi sur le mauvais nœud, ou une charge appliquée à une barre alors qu’elle était destinée à une autre. La déformée est le contrôle d’erreur le plus rapide qui soit, et il coûte un clic.

La statique fixe d’emblée trois des quatre grandeurs ci-dessous ; la quatrième — la poussée — est l’inconnue hyperstatique, et elle est donnée ici comme résultat propre du solveur plutôt que confrontée à une valeur manuelle, car il n’existe pas de valeur manuelle sans mener le calcul complet par la méthode des forces.