Ungleichschenkliger Winkel — warum er sich so verbiegt, wie er will, und nicht wie man drückt
Belasten Sie einen Winkel senkrecht, und er weicht seitlich aus. Das ist kein Mangel — das tut ein Querschnitt ohne jede Symmetrieachse, und die beiden Zahlen, die es erklären, sind und .
- Querschnitt
- 150 × 90 × 12 UA
- Langer Schenkel
- 150 mm
- Kurzer Schenkel
- 90 mm
- Dicke
- 12 mm
- Symmetrie
- keinegenau darum geht es
Teil 1 — Zwei Schenkel, die sich am Rücken treffen
Ein ungleichschenkliger Winkel 150 × 90 × 12, scharfkantig gezeichnet.
Zwei Rechtecke mit gemeinsamer Ecke:
REC 0,0 90,12 der waagerechte Schenkel, 90 mm · REC 0,12 12,150 der senkrechte Schenkel, 150 mm
Vom Rücken im Ursprung aus gezeichnet, sodass der ganze Querschnitt im positiven Quadranten liegt. Diese Lage ist Absicht: Ein Winkel hat überhaupt keine Symmetrieachse, und mit dem Rücken im Ursprung lässt sich die Ausmitte des Schwerpunkts in beiden Richtungen unmittelbar ablesen.
Die Fläche ergibt 2736 mm², der Schwerpunkt liegt bei (21.39, 51.39) mm — in beiden Richtungen vom Rücken abgesetzt und in keinem der beiden Schenkel.
Teil 2, Schritt 1 — Das Deviationsmoment, und was es bedeutet
Der Term, der bei jedem symmetrischen Querschnitt verschwindet.
Alle anderen Querschnitte dieser Reihe hatten , denn jeder besaß mindestens eine Symmetrieachse. Der Winkel hat keine, und hier ist -1.912 × 10⁶ mm⁴.
Es ist negativ, weil das meiste Material dort liegt, wo und bezogen auf den Schwerpunkt entgegengesetzte Vorzeichen haben — der senkrechte Schenkel liegt links der Mitte und darüber, der waagerechte rechts der Mitte und darunter.
Ein von null verschiedenes hat eine unmittelbare Folge: die gezeichneten x- und y-Achsen sind nicht die Hauptachsen. Eine Biegung um x erzeugt zugleich eine Krümmung um y. Der Querschnitt weigert sich, so zu biegen, wie Sie ihn gedrückt haben.
Teil 2, Schritt 2 — Um 20° drehen, und die Kopplung verschwindet
Und die schwache Achse ist viel schwächer, als Iy nahelegte.
Die Hauptachsen sind das Achsenpaar, für das verschwindet. Der Mohrsche Kreis liefert sowohl den Winkel als auch die beiden Momente:
Hier ist 19.95°, und die Hauptträgheitsmomente sind:
| Um | Geometrische Achsen | Hauptachsen |
|---|---|---|
| Stark | Ix = 6.318 × 10⁶ | Imax = 7.012 × 10⁶ |
| Schwach | Iy = 1.743 × 10⁶ | Imin = 1.049 × 10⁶ |
Das ist die Zahl, die man mitnimmt. Die wirkliche schwache Achse trägt 1.049 × 10⁶ mm⁴ — nur 60 % dessen, was nahelegt. Bemessen Sie einen Winkel-Druckstab nach , haben Sie seine Knicksteifigkeit um 66 % überschätzt.
Die Invariante dient als Probe: — 8.061 = 8.061 × 10⁶ mm⁴.
Handrechnung gegen das Werkzeug
| Größe | Von Hand | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| Fläche | 90×12 + 12×138 = 2 736 mm² | 2736 mm² | |
| Schwerpunkt x̄ | gewichtet: (1080×45 + 1656×6)/2736 = 21.39 | 21.39 mm | |
| Schwerpunkt ȳ | (1080×6 + 1656×81)/2736 = 51.39 | 51.39 mm | |
| Ixy | NICHT NULL — keine Symmetrieachse | -1.912 × 10⁶ mm⁴ | |
| Hauptachsenwinkel | ½·atan(−2Ixy/(Ix−Iy)) | 19.95° | |
| Mohrsche Invariante | Imax + Imin = Ix + Iy = 8.061 × 10⁶ | 8.061 × 10⁶ mm⁴ | |
| Imin gegen Iy | Imin MUSS ≤ Iy sein | 1.049 vs 1.743 × 10⁶ — 60% |
Jeder Wert wurde von Hand mit dem klassischen Verfahren ermittelt und danach gegen den Solver dieser Website geprüft — dieselbe Engine, die die Schaltfläche Ausprobieren öffnet. Diese Übereinstimmung wird bei jedem Build automatisch neu geprüft.
Jetzt sind Sie dran
Öffnen Sie genau dieses Modell im Rechner — ändern Sie dann eine Last, ziehen Sie ein Auflager, und sehen Sie zu, wie sich jedes Diagramm in Echtzeit mitbewegt. Intuition gewinnt man am besten, indem man es kaputt macht und schaut, was passiert.
Zum Mitnehmen
Exportieren Sie dieses gelöste Beispiel als PDF oder laden Sie es als .screport herunter und öffnen Sie es im Berichtsgenerator — das Modell reist in der Datei mit, Sie können es also wiederherstellen, neu rechnen und Ihren eigenen Bericht daraus bauen.