Cornière à ailes inégales — pourquoi elle fléchit comme elle veut, pas comme vous l’avez poussée
Chargez une cornière à la verticale et elle part de côté. Ce n’est pas un défaut — c’est ce que fait une section sans aucun axe de symétrie, et les deux nombres qui l’expliquent sont et .
- Section
- 150 × 90 × 12 UA
- Aile longue
- 150 mm
- Aile courte
- 90 mm
- Épaisseur
- 12 mm
- Symétrie
- aucunec’est tout le sujet
Partie 1 — Deux ailes qui se rejoignent au talon
Une cornière à ailes inégales 150 × 90 × 12, dessinée à arêtes vives.
Deux rectangles partageant un coin :
REC 0,0 90,12 l’aile horizontale de 90 mm · REC 0,12 12,150 l’aile verticale de 150 mm
Dessinée depuis le talon placé à l’origine, la section entière occupe ainsi le quadrant positif. Ce placement est délibéré : une cornière n’a aucun axe de symétrie, et mettre le talon à l’origine rend le décalage du centre de gravité, dans les deux directions, immédiatement lisible.
L’aire vaut 2736 mm², avec le centre de gravité en (21.39, 51.39) mm — décalé du talon dans les deux directions, et à l’intérieur d’aucune des deux ailes.
Partie 2, étape 1 — Le produit d’inertie, et ce qu’il signifie
Le terme qui s’annule sur toute section symétrique.
Toutes les autres sections de cette série avaient , car chacune possédait au moins un axe de symétrie. La cornière n’en a aucun, et ici -1.912 × 10⁶ mm⁴.
Il est négatif parce que l’essentiel de la matière se trouve là où et sont de signes opposés par rapport au centre de gravité — l’aile verticale est à gauche du centre et au-dessus, l’aile horizontale à droite et en dessous.
Un non nul a une conséquence immédiate : les axes x et y que vous avez dessinés ne sont pas les axes principaux. Une flexion appliquée autour de x produit aussi une courbure autour de y. La section refuse de fléchir comme vous l’avez poussée.
Partie 2, étape 2 — Tournez de 20° et le couplage disparaît
Et l’axe faible est bien plus faible que Iy ne le laissait croire.
Les axes principaux sont le couple d’axes pour lesquels s’annule. Le cercle de Mohr donne à la fois l’angle et les deux moments :
Ici 19.95°, et les moments principaux valent :
| Autour de | Axes géométriques | Axes principaux |
|---|---|---|
| Fort | Ix = 6.318 × 10⁶ | Imax = 7.012 × 10⁶ |
| Faible | Iy = 1.743 × 10⁶ | Imin = 1.049 × 10⁶ |
Voilà le nombre à retenir. Le vrai axe faible porte 1.049 × 10⁶ mm⁴ — soit seulement 60 % de ce que laisse croire . Dimensionnez une cornière comprimée sur et vous aurez surestimé sa rigidité au flambement de 66 %.
L’invariant sert de vérification : — 8.061 = 8.061 × 10⁶ mm⁴.
Calcul à la main contre l’outil
| Grandeur | À la main | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| Aire | 90×12 + 12×138 = 2 736 mm² | 2736 mm² | |
| Centre de gravité x̄ | pondéré : (1080×45 + 1656×6)/2736 = 21.39 | 21.39 mm | |
| Centre de gravité ȳ | (1080×6 + 1656×81)/2736 = 51.39 | 51.39 mm | |
| Ixy | NON NUL — aucun axe de symétrie | -1.912 × 10⁶ mm⁴ | |
| Angle principal | ½·atan(−2Ixy/(Ix−Iy)) | 19.95° | |
| Invariant de Mohr | Imax + Imin = Ix + Iy = 8.061 × 10⁶ | 8.061 × 10⁶ mm⁴ | |
| Imin vs Iy | Imin DOIT être ≤ Iy | 1.049 vs 1.743 × 10⁶ — 60% |
Chaque valeur a été calculée à la main par la méthode classique, puis confrontée au solveur de ce site — le moteur même qu’ouvre le bouton Essayer. Cette concordance est revérifiée automatiquement à chaque build.
À vous de jouer
Ouvrez ce modèle exact dans le calculateur — puis changez une charge, déplacez un appui, et regardez chaque diagramme se recalculer en temps réel. Le meilleur moyen d’acquérir de l’intuition, c’est de le casser et de voir ce qui se passe.
Emportez-le avec vous
Exportez cet exemple résolu en PDF, ou téléchargez-le en .screport et ouvrez-le dans le générateur de rapports — le modèle voyage dans le fichier : vous pouvez le reconstruire, le recalculer et bâtir votre propre rapport à partir de lui.