Ein auskragender Ausleger an einer Wand

Jedes Fachwerk bisher stand auf zwei Auflagern, mit der Last dazwischen. Ein Kragarm hat kein zweites Auflager draußen im Raum — alles verankert sich in der Wand dahinter. Zwei Gelenke, in Knoten 1 (unten) und Knoten 2 (oben), schrauben das Fachwerk an die Wand; der waagerechte Gurt läuft von Knoten 2 über Knoten 3 hinaus zur Spitze in Knoten 4, und zwei Diagonalen steigen von Knoten 1 auf — eine zu Knoten 3, eine bis zur Spitze. Benennen Sie die Teile jetzt, denn die Zahlen werden die Namen bestätigen: Der Gurt ist der Zugstab, der zur Wand zurückführt, und die Spitzendiagonale ist die Druckstrebe, die den Ausleger von unten stützt.

Die Abzählung geht weiterhin auf: 4 Stäbe + 4 Auflagerkomponenten (zwei Gelenke) = 8 = 2 × 4 Knoten — statisch bestimmt. Doch diese vier Auflagerkomponenten übersteigen die drei globalen Gleichgewichtsbedingungen, wir können die Auflagerkräfte also zum ersten Mal nicht zuerst bestimmen. Kein Problem: Das Knotenpunktverfahren arbeitet von jedem Knoten mit höchstens zwei Unbekannten aus, und die Spitze ist genau so ein Knoten. Wir lösen die Stäbe von außen nach innen, und die Auflagerkräfte fallen am Ende an.

Ein einziges Dreieck bedient jede Gleichung: Die Spitzendiagonale läuft 6 m in die Breite und 2.5 m nach unten, ist also lang, woraus und folgen.

An Knoten 4 hängen die 18 kN, und dort treffen nur zwei Stäbe zusammen — der Gurt zurück zu Knoten 3 und die lange Diagonale hinunter zu Knoten 1. Achten Sie auf die Richtung, bevor Sie etwas hinschreiben: Die Diagonale läuft abwärts zu Knoten 1, Zug in ihr zöge die Spitze also nach unten und nach links. Die Last von 18 kN braucht an der Spitze aber eine Komponente nach oben, und Zug in einem abwärts geneigten Stab kann keine liefern — noch vor jeder Algebra wissen wir also, dass die Diagonale unter Druck steht: Sie stützt die Spitze von unten. Schreibt man jede Kraft zugpositiv, sagt die senkrechte Gleichung genau das:

Die waagerechte Gleichung liefert dann den Gurt: Die waagerechte Komponente der Strebe schiebt die Spitze zur Wand hin … nein — lesen Sie die Vorzeichen — sie schiebt die Spitze nach außen, und der Gurt muss sie zurückholen:

Das physikalische Bild an der Spitze ist nun vollständig: Die Strebe trägt die Last ihre Neigung hinunter bis zum Wandfuß und drückt die Spitze dabei mit 43.2 kN von der Wand weg — dem hält der Obergurt mit Zug entgegen, zur Wand hin gezogen. Zugstab oben, Druckstrebe unten: der Kragarm in einem Satz.

Gehen Sie zurück zu Knoten 3, und etwas Klassisches geschieht. Die beiden Gurtstäbe 2–3 und 3–4 sind kollinear — beide waagerecht —, der einzige weitere Stab ist die Diagonale 1–3, und am Knoten hängt keine Last. Projizieren Sie senkrecht zu den Gurten: Da sie kollinear sind, haben sie überhaupt keine senkrechte Komponente, die Diagonale ist also der einzige Stab in dieser Gleichung — und muss folglich verschwinden:

Das ist die allgemeine Nullstabregel: zwei kollineare Stäbe plus ein zusätzlicher Stab an einem unbelasteten Knoten ⇒ der zusätzliche Stab trägt nichts, weil die Gleichgewichtsbedingung senkrecht zum kollinearen Paar genau einen Stab mit senkrechter Komponente enthält. Die Gurtkraft läuft einfach durch: 43.2 kN bis zur Wand.

Warum ist Stab 1–3 dann überhaupt da? Weil die Regel nur für diesen Lastfall gilt. Das ist die Geometrie eines Schwenkkrans, und dessen Laufkatze fährt am Gurt entlang: Stellen Sie die Last über Knoten 3 statt an die Spitze, und Knoten 3 ist belastet — Stab 1–3 erwacht und trägt sie. Nullstäbe sind es fallweise, nicht nutzlos: Sie warten auf die Laststellungen, die sie brauchen (und halten unterdessen den Gurt gegen Knicken).

Jeder Stab ist bekannt, die Wandgelenke lassen sich also unmittelbar an ihren Knoten ablesen. Unten, Knoten 1: Die Strebe kommt mit −46.8 kN an und drückt mit ihren beiden Komponenten in das Gelenk — das Wandlager nimmt H₁ = +43.2 kN auf (der Knoten wird in die Wand gedrückt) und V₁ = +18 kN, die gesamte senkrechte Last. Oben, Knoten 2: Nur der Gurt kommt an und zieht das Gelenk mit 43.2 kN zum Ausleger hin — die Wand muss also dagegenhalten: H₂ = −43.2 kN Ausziehkraft, und V₂ = 0. Prüfen Sie das Ganze als Kräftepaar: Das waagerechte Paar im Abstand von 2.5 m muss dem Kippmoment der Spitzenlast die Waage halten:

Ausziehkraft × Höhe an der Wand ist genau gleich Last × Auskragung. Die 18 kN kippen das Fachwerk nie, weil die Wand ihnen mit einem gleich großen, entgegengesetzten Kräftepaar antwortet — Zug am oberen Anker, Druck unten.