Une flèche en console sur un mur

Jusqu’ici, chaque treillis reposait sur deux appuis avec la charge entre eux. Une console n’a pas de second appui dans le vide — tout s’ancre au mur derrière elle. Deux articulations, au nœud 1 (bas) et au nœud 2 (haut), boulonnent le treillis au mur ; la membrure horizontale va du nœud 2 au nœud 3 puis jusqu’à l’extrémité, le nœud 4, et deux diagonales montent du nœud 1 — l’une vers le nœud 3, l’autre jusqu’à l’extrémité. Nommez les pièces dès maintenant, car les nombres confirmeront les noms : la membrure est le tirant qui revient au mur, et la diagonale d’extrémité est la bielle qui étaie la flèche par en dessous.

Le compte se ferme toujours : 4 barres + 4 composantes de réaction (deux articulations) = 8 = 2 × 4 nœuds — isostatique. Mais ces quatre composantes de réaction dépassent en nombre les trois équations d’équilibre global : pour la première fois, nous ne pouvons pas trouver les réactions d’abord. Peu importe : la méthode des nœuds fonctionne à partir de n’importe quel nœud comptant deux inconnues au plus, et l’extrémité est précisément ce nœud. Nous résolvons les barres de l’extérieur vers l’intérieur, et les réactions tomberont à la fin.

Un seul triangle sert toutes les équations : la diagonale d’extrémité avance de 6 m et descend de 2.5 m, elle mesure donc , d’où et .

Le nœud 4 porte les 18 kN et ne rencontre que deux barres — la membrure qui revient au nœud 3 et la longue diagonale qui descend au nœud 1. Attention au sens avant d’écrire quoi que ce soit : la diagonale descend vers le bas, vers le nœud 1, donc une traction dans cette barre tirerait l’extrémité vers le bas et vers la gauche. Or la charge de 18 kN exige une composante vers le haut à l’extrémité, et une traction dans une barre descendante ne peut pas en fournir — avant toute algèbre, nous savons donc que la diagonale est en compression : elle étaie l’extrémité par en dessous. En écrivant chaque effort en traction positive, l’équation verticale dit exactement cela :

L’équation horizontale livre ensuite la membrure : la composante horizontale de la bielle pousse l’extrémité vers le mur… non — lisez les signes — elle pousse l’extrémité vers l’extérieur, et la membrure doit la ramener :

L’image physique est maintenant complète à l’extrémité : la bielle porte la charge le long de sa pente jusqu’au bas du mur et, ce faisant, pousse l’extrémité loin du mur avec 43.2 kN — ce à quoi la membrure supérieure s’oppose en traction, tirée vers le mur. Tirant au-dessus, bielle en dessous : la console en une phrase.

Revenez au nœud 3 et il se passe quelque chose de classique. Les deux barres de membrure 2–3 et 3–4 sont colinéaires — toutes deux horizontales — la seule autre barre est la diagonale 1–3, et aucune charge ne pend au nœud. Projetez perpendiculairement aux membrures : étant colinéaires, elles n’ont aucune composante perpendiculaire, la diagonale est donc la seule barre de cette équation — elle doit par conséquent s’annuler :

Voilà la règle générale de la barre à effort nul : deux barres colinéaires plus une barre supplémentaire à un nœud non chargé ⇒ la barre supplémentaire ne porte rien, car l’équation d’équilibre perpendiculaire à la paire colinéaire ne comporte qu’une seule barre à composante perpendiculaire. L’effort de membrure passe simplement tout droit : 43.2 kN jusqu’au mur.

Alors pourquoi la barre 1–3 est-elle là ? Parce que la règle ne vaut que pour ce cas de charge. C’est la géométrie d’une potence, et le chariot d’une potence roule le long de la membrure : garez la charge au-dessus du nœud 3 plutôt qu’à l’extrémité et le nœud 3 devient chargé — la barre 1–3 se réveille et la reprend. Les barres à effort nul le sont au cas par cas, elles ne sont pas inutiles : elles attendent les positions de charge qui les réclament (et entre-temps elles maintiennent la membrure contre le flambement).

Toutes les barres sont connues : les articulations du mur se lisent donc directement sur leurs nœuds. En bas, au nœud 1 : la bielle arrive avec −46.8 kN et pousse dans l’articulation par ses deux composantes — l’appui du mur reprend H₁ = +43.2 kN (le nœud est poussé contre le mur) et V₁ = +18 kN, la charge verticale entière. En haut, au nœud 2 : seule la membrure arrive, tirant l’articulation vers la flèche avec 43.2 kN — le mur doit donc tirer en retour : H₂ = −43.2 kN d’arrachement, et V₂ = 0. Vérifiez l’ensemble comme un couple : la paire horizontale, distante de 2.5 m, doit équilibrer le moment de renversement de la charge d’extrémité :

Effort d’arrachement × hauteur au mur égale exactement charge × portée en console. Les 18 kN ne renversent jamais le treillis, car le mur leur répond par un couple égal et opposé — traction à l’ancrage supérieur, compression en bas.