Ein zu kurz gefertigter Stab: Passungenauigkeit
Die Werkstatt hat eine Diagonale 5 mm zu kurz geschnitten, und die Kolonne hat sie trotzdem hineingezogen. In einem statisch bestimmten Fachwerk kostete das nichts — die Geometrie würde sich einfach verschieben. In einem statisch unbestimmten wehrt sich der Stab: über 100 kN Eigenspannung bleiben eingesperrt, ohne jede Last auf dem Tragwerk und mit allen Auflagerkräften exakt null. Hier rechnen wir genau nach, wie viel.
- Anordnung
- Feld mit X-Verband, 3 m × 3 m
- Knoten / Stäbe
- 4 Knoten · 6 Stäbeeinfach statisch unbestimmt
- Fläche (alle)
- 1500 mm²
- 200 GPa
- 300 000 kN
- Länge der Diagonale 1–3
- 3√2 = 4.243 m
- Passungenauigkeit
- 5 mm zu kurzeingegeben −5
- Aufgebrachte Last
- keine
Schritt 1 — Die Stäbe abzählen: einer zu viel
Ein Stab mehr, als die Statik auflösen kann — und darin steckt die ganze Geschichte.
Bevor wir die Passungenauigkeit anfassen, wird gezählt. Ein ebenes Fachwerk liefert an jedem Knoten zwei Gleichgewichtsbedingungen — hier 2j = 8 — gegen neun Unbekannte: sechs Stabkräfte und drei Auflagerkomponenten. Also m + r = 6 + 3 = 9 > 2j = 8, und das Feld ist einfach statisch unbestimmt — ein Stab mehr, als die Statik auflösen kann.
Dieser eine überzählige Stab entscheidet alles Weitere. Ein statisch bestimmtes Fachwerk (m + r = 2j) hat genau eine Geometrie, die zu jeder Stablänge passt, die die Werkstatt liefert: Kommt eine Diagonale 5 mm zu kurz an, fügt sich das Fachwerk einfach zu einer ganz leicht anderen Form zusammen — kräftefrei. Dieses Feld hat diese Freiheit nicht. Seine Stäbe müssen sich alle auf eine gemeinsame Geometrie einigen, eine zu kurz gelieferte Diagonale lässt sich also nur anschließen, indem sie sich selbst dehnt und ihre Nachbarn staucht. Kraft kommt — die nächsten Schritte rechnen aus, wie viel genau.
Schritt 2 — Den unpassenden Stab durchschneiden, ein Einheitskräftepaar aufbringen
Den überzähligen Stab lösen und mit einer Einheitszugkraft belasten.
Das Kraftgrößenverfahren macht diesen überzähligen Stab zur Unbekannten. Wir schneiden den überzähligen Stab durch — Stab M5 (die Diagonale 1–3) —, womit ein statisch bestimmtes Fachwerk übrig bleibt, das die Statik beherrscht, und ziehen seine beiden Schnittufer mit einem Einheitszugkräftepaar auseinander. Die Stabkräfte, die dieses Paar erzeugt, sind die Eigenform n. Die klassische Antwort für das Quadrat mit X-Verband, an jedem Knoten lösbar:
Lesen Sie die Form: Ein Einheitszug quer über eine Diagonale staucht die vier Seiten des Quadrats (M1–M4) und dehnt die gegenüberliegende Diagonale M6 (2–4) — vollständig im Inneren. Die Auflagerkräfte unter diesem sich selbst ausgleichenden Kräftepaar sind bereits null, und genau deshalb wird auch der fertige Eigenspannungszustand an jedem Auflager null ergeben.
Schritt 3 — Die Nachgiebigkeit des Schnitts über die virtuelle Arbeit
Eine einzige Summe verdichtet das ganze Feld zu einer Zahl.
Wie schwer ist es, an diesem Schnitt eine Lücke zu schließen? Die virtuelle Arbeit antwortet mit einer einzigen Summe. Die Nachgiebigkeit des Schnitts — wie weit sich die Schnittufer je Einheit des Kräftepaars trennen — ist , summiert über alle Stäbe: die vier Seiten von 3 m mit , die beiden Diagonalen von 4.243 m mit :
Beachten Sie, dass n quadratisch eingeht: Jeder Stab erhöht die Nachgiebigkeit, gleich ob seine Kraft in der Eigenform Zug oder Druck ist — die gestauchten Seiten helfen dem Schnitt genauso beim Öffnen wie die gedehnte Diagonale. Von hier an spielt nichts anderes am Fachwerk mehr eine Rolle: Das ganze Feld ist auf diese eine Zahl verdichtet.
Schritt 4 — Aus fünf Millimetern werden 103.55 kN
Fünf Millimeter → über 100 kN, über die virtuelle Arbeit.
Stab M5 (die Diagonale 1–3) muss eine Lücke ΔL = 5 mm schließen, die überzählige Kraft ist also die Passungenauigkeit geteilt durch diese Nachgiebigkeit:
Alle übrigen Stabkräfte folgen aus :
Das sind rund 69 MPa eingesperrte Spannung aus fünf Millimetern Schnittfehler — bevor das Tragwerk ein einziges Newton wirklicher Last trägt. Fertigungstoleranz an einem statisch unbestimmten Tragwerk ist keine Pedanterie.
Schritt 5 — Warum jede Auflagerkraft null ist
Die Statik sieht nichts; Dehnungsmessstreifen sehen 69 MPa.
Ein Eigenspannungszustand ist im Inneren ausgeglichen: Der Stabverband drückt und zieht gegen sich selbst. An jedem Knoten schließen sich die Stabkräfte ohne Hilfe eines Auflagers zum Gleichgewicht, also ist ΣF an jedem Auflager exakt null. Die Statik, die nur den Rand betrachtet, sieht ein unbelastetes Tragwerk — und doch würde ein Dehnungsmessstreifen an jedem beliebigen Stab eine echte, bleibende Kraft anzeigen.
Der Nachweis
Die Handrechnung gegen den Solver.
| Größe | Von Hand | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| Zu kurze Diagonale 1-3 | +103.55 kN (Z) — X = ΔL/δ₁₁ | +103.553 kN | |
| Andere Diagonale 2-4 | +103.55 kN (Z) — n = +1 | +103.553 kN | |
| Alle vier Seiten | −73.22 kN (D) — n = −1/√2 | −73.223 kN | |
| Auflagerkräfte | null (der Eigenspannungszustand ist innerlich) | 0 / 0 | |
| Aufgebrachte Last | null | null |
Jeder Wert wurde von Hand mit dem klassischen Verfahren ermittelt und danach gegen den Solver dieser Website geprüft — dieselbe Engine, die die Schaltfläche Ausprobieren öffnet. Diese Übereinstimmung wird bei jedem Build automatisch neu geprüft.
Jetzt sind Sie dran
Öffnen Sie genau dieses Modell im Rechner — ändern Sie dann eine Last, ziehen Sie ein Auflager, und sehen Sie zu, wie sich jedes Diagramm in Echtzeit mitbewegt. Intuition gewinnt man am besten, indem man es kaputt macht und schaut, was passiert.
Zum Mitnehmen
Exportieren Sie dieses gelöste Beispiel als PDF oder laden Sie es als .screport herunter und öffnen Sie es im Berichtsgenerator — das Modell reist in der Datei mit, Sie können es also wiederherstellen, neu rechnen und Ihren eigenen Bericht daraus bauen.