Una barra fabricada corta: falta de ajuste
El taller cortó una diagonal 5 mm corta, y la cuadrilla la metió a la fuerza de todos modos. En una celosía isostática eso no costaría nada: la geometría sencillamente se desplazaría. En una hiperestática, la barra responde: se quedan dentro más de 100 kN de autotensión, sin ninguna carga sobre la estructura y con todas las reacciones exactamente nulas. Aquí calculamos exactamente cuánta.
- Configuración
- panel arriostrado en X de 3 m × 3 m
- Nudos / barras
- 4 nudos · 6 barrashiperestática de grado 1
- Área (todas)
- 1500 mm²
- 200 GPa
- 300 000 kN
- Longitud de la diagonal 1–3
- 3√2 = 4.243 m
- Falta de ajuste
- 5 mm de menosintroducido −5
- Carga aplicada
- ninguna
Paso 1 — Cuenta las barras: sobra una
Una barra más de las que la estática puede resolver: ahí está toda la historia.
Antes de tocar la falta de ajuste, cuenta. Una celosía plana ofrece dos ecuaciones de equilibrio en cada nudo —aquí 2j = 8— frente a nueve incógnitas: seis esfuerzos de barra y tres componentes de reacción. Así que m + r = 6 + 3 = 9 > 2j = 8, y el panel es hiperestático de primer grado: una barra más de las que la estática puede resolver.
Esa única barra sobrante decide todo lo que viene después. Una celosía isostática (m + r = 2j) tiene exactamente una geometría compatible con las longitudes de barra que entregue el taller: llega una diagonal 5 mm corta y la celosía sencillamente se monta con una forma ligerísimamente distinta, sin ninguna fuerza. Este panel no tiene esa libertad. Todas sus barras han de ponerse de acuerdo en una única geometría compartida, de modo que una diagonal que aparece corta solo se puede conectar estirándose ella misma y comprimiendo a sus vecinas. Viene fuerza: los pasos siguientes calculan exactamente cuánta.
Paso 2 — Corta la barra desajustada y aplica un par unitario
Libera la barra redundante y cárgala con una tracción unitaria.
El método de las fuerzas convierte esa barra sobrante en la incógnita. Cortamos la barra redundante —la barra M5 (la diagonal 1–3)—, con lo que queda una celosía isostática que la estática sí sabe resolver, y separamos sus dos extremos cortados con un par de tracción unitario. Los esfuerzos de barra que produce ese par son la forma modal n. La respuesta clásica del cuadro arriostrado en X, resoluble en cualquier nudo:
Lee la forma: un tiro unitario a través de una diagonal comprime los cuatro lados del cuadro (M1–M4) y estira la diagonal opuesta M6 (2–4), todo ello por dentro. Las reacciones en los apoyos bajo este par autoequilibrado ya son nulas, y esa es justamente la razón de que el estado de autotensión terminado también dé cero en todos los apoyos.
Paso 3 — La flexibilidad del corte, por trabajos virtuales
Un solo sumatorio condensa todo el panel en un único número.
¿Cuánto cuesta cerrar una separación en ese corte? Los trabajos virtuales responden con un solo sumatorio. La flexibilidad del corte —cuánto se separan los extremos cortados por cada unidad del par— es sumado sobre todas las barras: los cuatro lados de 3 m con y las dos diagonales de 4.243 m con :
Fíjate en que n entra al cuadrado: toda barra suma flexibilidad, tanto si su esfuerzo modal es de tracción como de compresión; los lados comprimidos ayudan a abrir el corte igual que lo hace la diagonal estirada. A partir de aquí ya no importa nada más de la celosía: todo el panel ha quedado condensado en este único número.
Paso 4 — Cinco milímetros se convierten en 103.55 kN
Cinco milímetros → más de 100 kN, por trabajos virtuales.
La barra M5 (la diagonal 1–3) tiene que cerrar una separación ΔL = 5 mm, así que la fuerza redundante es la falta de ajuste dividida por esa flexibilidad:
Todos los demás esfuerzos de barra salen de :
Eso son unos 69 MPa de tensión bloqueada por cinco milímetros de corte errado, antes de que la estructura lleve un solo newton de carga real. La tolerancia de fabricación en una estructura hiperestática no es una manía.
Paso 5 — Por qué todas las reacciones son nulas
La estática no ve nada; las galgas extensométricas ven 69 MPa.
Un estado de autotensión está equilibrado por dentro: el conjunto de barras empuja y tira contra sí mismo. En cada nudo los esfuerzos de barra se cierran en equilibrio sin ayuda de ningún apoyo, así que ΣF en cada apoyo es exactamente cero. La estática, que solo mira el contorno, ve una estructura descargada; y sin embargo una galga extensométrica pegada a cualquier barra leería una fuerza real y permanente.
La comprobación
El cálculo a mano frente al solver.
| Magnitud | A mano | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| Diagonal corta 1-3 | +103.55 kN (T) — X = ΔL/δ₁₁ | +103.553 kN | |
| La otra diagonal 2-4 | +103.55 kN (T) — n = +1 | +103.553 kN | |
| Los cuatro lados | −73.22 kN (C) — n = −1/√2 | −73.223 kN | |
| Reacciones en los apoyos | nulas (la autotensión es interna) | 0 / 0 | |
| Carga aplicada | nula | nula |
Todos los valores se han obtenido a mano por el método clásico y luego se han contrastado con el solver de este sitio, el mismo motor que abre el botón Pruébalo. Esta coincidencia se vuelve a comprobar automáticamente en cada compilación.
Ahora hazlo tuyo
Abre este mismo modelo en la calculadora, cambia una carga, arrastra un apoyo y mira cómo se actualizan todos los diagramas en tiempo real. La mejor forma de coger intuición es romperlo y ver qué pasa.
Llévatelo contigo
Exporta este ejemplo resuelto en PDF, o descárgalo como .screport y ábrelo en el generador de informes: el modelo viaja dentro del archivo, así que puedes reconstruirlo, volver a resolverlo y montar tu propio informe a partir de él.