Une barre fabriquée trop courte : défaut d’ajustement

Avant de toucher au défaut d’ajustement, comptez. Un treillis plan offre deux équations d’équilibre à chaque nœud — ici 2j = 8 — face à neuf inconnues : six efforts de barre et trois composantes de réaction. Donc m + r = 6 + 3 = 9 > 2j = 8, et le panneau est hyperstatique au premier degré — une barre de plus que la statique ne peut résoudre.

Cette unique barre en trop décide de tout ce qui suit. Un treillis isostatique (m + r = 2j) n’a qu’une seule géométrie compatible avec les longueurs de barre que livre l’atelier : arrivez avec une diagonale 5 mm trop courte et le treillis se monte simplement dans une forme très légèrement différente, sans le moindre effort. Ce panneau n’a pas cette liberté. Toutes ses barres doivent s’accorder sur une seule géométrie commune : une diagonale qui se présente trop courte ne peut donc être raccordée qu’en s’allongeant elle-même et en comprimant ses voisines. L’effort arrive — les étapes suivantes calculent exactement combien.

La méthode des forces fait de cette barre en trop l’inconnue. Nous coupons la barre surabondante — la barre M5 (la diagonale 1–3) — ce qui laisse un treillis isostatique que la statique sait traiter, et nous écartons ses deux extrémités coupées par une paire de traction unitaire. Les efforts de barre que produit cette paire sont la forme modale n. La réponse classique du carré contreventé en X, résoluble à n’importe quel nœud :

Lisez la forme : une traction unitaire en travers d’une diagonale comprime les quatre côtés du carré (M1–M4) et allonge la diagonale opposée M6 (2–4) — entièrement en interne. Les réactions d’appui sous cette paire auto-équilibrée sont déjà nulles, et c’est exactement pour cela que l’état d’autocontrainte final donnera lui aussi zéro à chaque appui.

Combien coûte la fermeture d’un jeu à cette coupe ? Les travaux virtuels répondent par une seule somme. La souplesse de la coupe — de combien les extrémités coupées s’écartent par unité de la paire — vaut sommé sur toutes les barres : les quatre côtés de 3 m avec , les deux diagonales de 4.243 m avec :

Remarquez que n intervient au carré : chaque barre ajoute de la souplesse, que son effort modal soit de traction ou de compression — les côtés comprimés aident la coupe à s’ouvrir tout autant que la diagonale allongée. À partir d’ici, plus rien d’autre du treillis ne compte : tout le panneau tient dans ce seul nombre.

La barre M5 (la diagonale 1–3) doit refermer un jeu ΔL = 5 mm : l’effort surabondant vaut donc le défaut d’ajustement divisé par cette souplesse :

Tous les autres efforts de barre découlent de :

Cela fait environ 69 MPa de contrainte enfermée pour cinq millimètres de coupe fautive — avant que la structure ne porte le moindre newton de charge réelle. La tolérance de fabrication sur une ossature hyperstatique n’est pas du pédantisme.

Un état d’autocontrainte est équilibré de l’intérieur : l’ensemble des barres pousse et tire contre lui-même. À chaque nœud, les efforts de barre se referment en équilibre sans l’aide d’un appui, si bien que ΣF vaut exactement zéro à chaque appui. La statique, qui ne regarde que la frontière, voit une structure non chargée — pourtant une jauge collée sur n’importe quelle barre y lirait un effort réel et permanent.