Ein Fink-Binder mit Knotenblechen

Sehen Sie sich die Knoten in Abbildung 1 an, bevor Sie eine einzige Gleichung anrühren. Zwei Arten sind gezeichnet. Am First, wo beide Sparren enden und der mittlere Füllstab ankommt, und an beiden Auflagern, wo Sparren und Untergurt gemeinsam enden und die Auflagerkraft als eine weitere Kraft hinzutritt, laufen drei oder mehr Stäbe in einem einzigen Punkt zusammen — und die Zeichnung zeigt ein Knotenblech: ein flaches Blech, auf das jeder Stab auflascht und durch das hindurch geschraubt oder geschweißt wird. Überall sonst — in den beiden Sparrenmitten und in der Mitte des Untergurts — ist eine schlichte Gelenkscheibe gezeichnet: dort läuft der Gurt einfach durch, ununterbrochen, und die Füllstäbe hängen sich daran. Wo Stäbe enden und verbunden werden müssen, ein Blech; wo sie durchlaufen, ein Gelenk.

Nun das ehrliche Eingeständnis, und es gehört zum Ingenieurhandwerk, es ist keine Abkürzung: Die Zeichnung zeigt Knotenbleche, doch die Berechnung idealisiert jeden Knoten als reibungsfreies Gelenk. Ein echtes Knotenblech bringt sehr wohl etwas Biegesteifigkeit mit — die Stäbe können sich nicht mehr frei gegeneinander verdrehen —, doch sie zu vernachlässigen liegt bei den Stabkräften auf der sicheren Seite: Die Normalkräfte, die wir rechnen, sind der vollständige Lastpfad, und jedes Moment, das das Blech an sich zieht, teilt sich die Arbeit nur. So zu tun, als sei das Blech ein Gelenk, erspart uns eine Rahmenberechnung und kostet uns nichts, woran uns liegt. Diese eine Idealisierung ist das Knotenpunktverfahren.

Der Binder ist symmetrisch und symmetrisch belastet — 12 kN Pfettenlast an jedem der drei Sparrenknoten, insgesamt 3 × 12 = 36 kN —, also teilen sich die Auflager sie gleichmäßig:

Nachdem in Schritt 1 jeder Knoten zum Gelenk erklärt wurde, ist das Knotenpunktverfahren eröffnet: von Gelenk zu Gelenk gehen, stets einen Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stäben wählen und die beiden Gleichgewichtsbedingungen jedes Knotens alles an Ort und Stelle klären lassen. Die Sparrenneigung beträgt (sin θ = 0.4472, cos θ = 0.8944) — merken Sie sich diese beiden Zahlen; sie führen die gesamte Lösung.

Beginnen Sie an Knoten 1 — in der Zeichnung ein Knotenblech, in der Berechnung ein Gelenk —, wo nur zwei Stäbe auf die Auflagerkraft treffen. Das senkrechte Gleichgewicht liefert den unteren Sparren:

Druck — der Sparren stemmt die Auflagerkraft die Neigung hinauf zurück. Das waagerechte Gleichgewicht übergibt dann den Untergurt-Zugstab:

Steigen Sie zu Knoten 4, der Sparrenmitte mit ihrer Pfettenlast von 12 kN — ein schlichtes Gelenk, der Sparren läuft geradewegs hindurch. Zerlegt man längs und quer zum Sparren:

Der Druck im Sparren lässt von 40.25 kN unterhalb der Pfette auf 26.83 kN oberhalb nach, während der geneigte Füllstab den Sparren von unten stützt und den Lastanteil dieses Knotens zum Untergurt hin abträgt.

Am First, Knoten 5 — dem größten Knotenblech der Zeichnung und für die Berechnung dennoch nur ein Gelenk — macht die Symmetrie die beiden oberen Sparren mit −26.83 kN gleich, und ihre waagerechten Schübe heben sich auf. Senkrecht übersteigt ihr Aufwärtsdruck die 12 kN, die auf dem First sitzen, und der mittlere Füllstab nimmt die Differenz als Zug auf:

Der mittlere Füllstab hängt die Firstlast an den Untergurt — ein Zugstab in der Rolle eines Hängestabs. Bleibt Knoten 2, die Mitte des Untergurts, den wir nie benutzt haben: Jede dort ankommende Kraft wurde anderswo ermittelt, sein Gleichgewicht ist also eine eingebaute Prüfung. Und sie besteht: Die senkrechten Anteile der beiden äußeren Füllstäbe () halten dem Hängestab mit +12 kN die Waage, ihre waagerechten Anteile heben sich auf, und die beiden Gurtfelder mit 36.0 kN laufen geradewegs durch. Die Symmetrie füllt die Spiegelhälfte auf — die Stäbe 5-6 (−26.83), 6-3 (−40.25), 6-2 (−13.42) und 2-3 (+36.0) entsprechen ihren Zwillingen — und alle neun Stäbe stehen fest.

Stellen Sie diesen Binder neben das Beispiel des 12-m-Fink-Dachbinders: Die Stützweite wuchs von 12 auf 16 m und der Stich von 3 auf 4 m — die ganze Geometrie im Maßstab 4/3, die Neigung ist also identisch — und die Pfettenlasten wuchsen von 10 auf 12 kN, ein Faktor 1.2. Vergleichen Sie nun die Ergebnisse, Stab für Stab:

Jede Stabkraft ist genau das 1.2-Fache ihres kleineren Zwillings — der Lastfaktor, und nur der Lastfaktor. Der geometrische Maßstab 4/3 hat nichts geändert, denn jede Knotengleichung der Schritte 2–4 wurde in sin θ und cos θ geschrieben, und alle Koordinaten zu skalieren lässt jeden Winkel unangetastet.