Une ferme Fink à nœuds sur goussets

Regardez les nœuds de la Figure 1 avant de toucher à la moindre équation. Deux sortes sont dessinées. Au faîtage, où les deux arbalétriers se terminent et où arrive le montant central, et aux deux appuis, où arbalétrier et entrait se terminent ensemble et où la réaction s’ajoute comme une force de plus, trois barres ou davantage convergent en un seul point — et le plan montre un gousset : une tôle plate, chaque barre venant s’y recouvrir puis boulonnée ou soudée au travers. Partout ailleurs — aux deux mi-arbalétriers et au milieu de l’entrait — un simple disque d’articulation est dessiné : là, la membrure passe tout droit, continue, et les barres de treillis s’y accrochent. Là où les barres doivent se terminer et être assemblées, une tôle ; là où elles passent, une articulation.

Vient maintenant l’aveu, et il fait partie de l’ingénierie, ce n’est pas un raccourci : le plan montre des goussets, mais le calcul idéalise chaque nœud en articulation sans frottement. Un vrai gousset apporte bel et bien une certaine raideur en flexion — les barres ne peuvent plus tourner librement les unes par rapport aux autres — mais le négliger est sécuritaire pour les efforts de barre : les efforts normaux que nous calculons constituent le cheminement complet de la charge, et tout moment que la tôle attire ne fait que partager le travail. Faire comme si la tôle était une articulation nous épargne un calcul de portique et ne nous coûte rien qui compte. Cette seule idéalisation est la méthode des nœuds.

La ferme est symétrique et symétriquement chargée — 12 kN de charge de panne à chacun des trois nœuds d’arbalétrier, soit 3 × 12 = 36 kN en tout — les appuis se la partagent donc à parts égales :

Chaque nœud ayant été déclaré articulation à l’étape 1, la méthode des nœuds est ouverte : aller d’articulation en articulation en choisissant toujours un nœud à deux barres inconnues au plus, et laisser les deux équations d’équilibre de chaque nœud tout régler sur place. La pente d’arbalétrier vaut (sin θ = 0.4472, cos θ = 0.8944) — retenez ces deux nombres, ils mènent toute la résolution.

Commencez au nœud 1 — un gousset sur le plan, une articulation au calcul — où deux barres seulement rencontrent la réaction. L’équilibre vertical donne l’arbalétrier inférieur :

Compression — l’arbalétrier repousse la réaction vers le haut de la pente. L’équilibre horizontal livre alors l’entrait de la membrure inférieure :

Montez au nœud 4, le mi-arbalétrier avec sa charge de panne de 12 kN — une simple articulation, l’arbalétrier passant tout droit. En projetant le long et en travers de l’arbalétrier :

La compression de l’arbalétrier se relâche de 40.25 kN sous la panne à 26.83 kN au-dessus, tandis que la barre de treillis inclinée étaie l’arbalétrier par en dessous et emporte vers l’entrait la part de charge de ce nœud.

Au faîtage, nœud 5 — le plus grand gousset du plan, et pourtant une simple articulation pour le calcul — la symétrie égalise les deux arbalétriers supérieurs à −26.83 kN, et leurs poussées horizontales s’annulent. Verticalement, leur poussée vers le haut dépasse les 12 kN posés sur le faîtage, et le montant central reprend la différence en traction :

Le montant central suspend la charge de faîtage à l’entrait — une barre tendue faisant office de poinçon. Reste le nœud 2, au milieu de l’entrait, dont nous ne nous sommes jamais servis : toutes les forces qui y arrivent ont été trouvées ailleurs, son équilibre est donc un audit intégré. Et il passe : les verticales des deux barres de treillis extérieures () équilibrent le poinçon de +12 kN, leurs horizontales s’annulent, et les deux panneaux d’entrait de 36.0 kN passent tout droit. La symétrie remplit la moitié en miroir — les barres 5-6 (−26.83), 6-3 (−40.25), 6-2 (−13.42) et 2-3 (+36.0) égalent leurs jumelles — et les neuf barres sont au livre.

Placez cette ferme à côté de l’exemple de la ferme Fink de 12 m : la portée est passée de 12 à 16 m et la flèche de 3 à 4 m — toute la géométrie mise à l’échelle de 4/3, donc la pente est identique — et les charges de panne sont passées de 10 à 12 kN, un facteur 1.2. Comparez maintenant les réponses, barre par barre :

Chaque effort vaut exactement 1.2× celui de sa jumelle plus petite — le facteur de charge, et rien que le facteur de charge. L’échelle géométrique de 4/3 n’a rien changé, parce que toutes les équations de nœud des étapes 2 à 4 ont été écrites en fonction de sin θ et cos θ, et mettre toutes les coordonnées à l’échelle laisse tous les angles intacts.