Una cercha Fink con nudos de cartela

Mira los nudos de la Figura 1 antes de tocar una sola ecuación. Hay dibujados dos tipos. En la cumbrera, donde terminan los dos pares y llega el montante central, y en los dos apoyos, donde par y cordón inferior terminan juntos y la reacción entra como una fuerza más, concurren tres o más barras en un mismo punto — y el plano muestra una cartela: una chapa plana, con cada barra solapada sobre ella y atornillada o soldada a través de ella. En todos los demás sitios —los dos puntos medios de los pares y el centro del cordón inferior— se dibuja un simple disco de articulación: allí el cordón sencillamente pasa de largo, continuo, y los montantes se cuelgan de él. Donde las barras tienen que terminar y unirse, una chapa; donde siguen de largo, una articulación.

Ahora la declaración de honestidad, y forma parte de la ingeniería, no es un atajo: el plano muestra cartelas, pero el cálculo idealiza cada nudo como una articulación sin rozamiento. Una cartela real sí aporta algo de rigidez a flexión —las barras ya no pueden girar libremente unas respecto de otras—, pero despreciarla queda del lado de la seguridad para los esfuerzos de barra: los axiles que calculamos son todo el recorrido de la carga, y cualquier momento que atraiga la chapa se limita a repartir el trabajo. Fingir que la chapa es una articulación nos ahorra un cálculo de pórtico y no nos cuesta nada que nos importe. Esa única idealización es el método de los nudos.

La cercha es simétrica y está cargada simétricamente —12 kN de carga de correa en cada uno de los tres nudos de los pares, 3 × 12 = 36 kN en total—, así que los apoyos se la reparten a partes iguales:

Declarado articulación cada nudo en el paso 1, el método de los nudos queda abierto: caminar de articulación en articulación eligiendo siempre un nudo con como mucho dos barras incógnita, y dejar que las dos ecuaciones de equilibrio de cada nudo lo resuelvan todo allí mismo. La pendiente del par es (sen θ = 0.4472, cos θ = 0.8944): agárrate a esos dos números, porque gobiernan toda la solución.

Empieza en el nudo 1 —una cartela en el plano, una articulación en el cálculo—, donde solo dos barras se encuentran con la reacción. El equilibrio vertical da el par inferior:

Compresión: el par empuja la reacción de vuelta pendiente arriba. El equilibrio horizontal entrega entonces el tirante del cordón inferior:

Sube al nudo 4, el punto medio del par con su carga de correa de 12 kN: una articulación simple, con el par pasando de largo. Descomponiendo a lo largo y a través del par:

La compresión del par afloja de 40.25 kN por debajo de la correa a 26.83 kN por encima, mientras el montante inclinado apuntala el par desde abajo y lleva hacia el cordón inferior la parte de carga de ese nudo.

En la cumbrera, el nudo 5 —la cartela más grande del plano, y aun así solo una articulación para el cálculo—, la simetría iguala los dos pares superiores en −26.83 kN y sus empujes horizontales se cancelan. En vertical, su empuje hacia arriba supera los 12 kN que descansan sobre la cumbrera, y el montante central recoge la diferencia a tracción:

El montante central cuelga la carga de la cumbrera del cordón inferior: una barra a tracción haciendo de pendolón. Queda el nudo 2, el centro del cordón inferior, que no hemos usado nunca: todas las fuerzas que llegan allí se hallaron en otra parte, así que su equilibrio es una auditoría incorporada. Y la pasa: las verticales de los dos montantes exteriores () equilibran los +12 kN del pendolón, sus horizontales se cancelan y los dos paneles de cordón de 36.0 kN siguen de largo. La simetría rellena la mitad especular —las barras 5-6 (−26.83), 6-3 (−40.25), 6-2 (−13.42) y 2-3 (+36.0) igualan a sus gemelas— y las nueve barras están anotadas.

Pon esta cercha al lado del ejemplo de la cercha Fink de cubierta de 12 m: la luz creció de 12 a 16 m y la flecha de 3 a 4 m —toda la geometría escalada por 4/3, así que la pendiente es idéntica— y las cargas de correa crecieron de 10 a 12 kN, un factor de 1.2. Compara ahora las respuestas, barra por barra:

Cada esfuerzo es exactamente 1.2× el de su gemela menor: el factor de carga, y solo el factor de carga. La escala geométrica de 4/3 no cambió nada, porque todas las ecuaciones de nudo de los pasos 2–4 se escribieron en términos de sen θ y cos θ, y escalar todas las coordenadas deja intactos todos los ángulos.