Fink-Dachbinder unter Schwerelasten
Der Binder über Ihrem Kopf. Ein Fink-Dachbinder („W“-Form) erledigt eine Aufgabe elegant: Die Sparren drücken, der Untergurt bindet ihre Füße zusammen, sodass die Wände keinen Schub spüren, und das W der Füllstäbe zerlegt die Sparren in kurze, knicksichere Abschnitte. Hier gehen wir ihn Knoten für Knoten ab — und finden den Zugstab mit reinen +30 kN Zug, während die Wände nichts als ihren Anteil am Gewicht spüren.
- Stützweite
- 12 mStich 3 m
- Dachneigung
- 1:2 (26,57°)
- Geometrie
- 6 Knoten · 9 Stäbe
- Auflager
- Festlager (1) · Rollenlager (3)
- Lasten
- 10 kN ↓ in 4, 5 und 6Schwerelast an den oberen Knoten
- Sparren
- 0.8944, 0.4472
Schritt 1 — Die Auflagerkräfte aus der Symmetrie
Die Symmetrie teilt die 30 kN Dachlast auf die beiden Wände auf.
Der ganze Binder ist symmetrisch und symmetrisch belastet, die beiden Auflager teilen sich die Gesamtschwerelast von 3 × 10 = 30 kN also gleichmäßig:
Eine Momentengleichung braucht es nicht — die Symmetrie liefert die Auflagerkräfte gratis, und senkrecht sind diese je 15 kN alles, was die Wände je spüren werden. Die interessante Frage ist die waagerechte: Ein geneigter Sparren drückt nicht nur nach unten, sondern auch nach außen, und die nächsten drei Schritte verfolgen, wohin dieser Schub geht. Unser Werkzeug ist das Knotenpunktverfahren — von Gelenk zu Gelenk gehen und stets einen Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stäben wählen, damit seine beiden Gleichgewichtsbedingungen alles an Ort und Stelle klären.
Schritt 2 — Der Traufknoten, wo der Zugstab entsteht
Zwei Stäbe, zwei Gleichungen — Druck im Sparren, Zug im Zugstab.
Beginnen Sie an der Traufe — Knoten 1, wo Festlager, geneigter unterer Sparren und Untergurt zusammentreffen. Hier stoßen nur zwei Stäbe zusammen, seine beiden Gleichgewichtsbedingungen legen also beide fest. Zuerst senkrecht (die Sparrenwerte sind cos = 0.8944, sin = 0.4472):
Der untere Sparren steht unter Druck — er stemmt die Auflagerkraft nach oben zurück. Das waagerechte Gleichgewicht enthüllt dann den Hauptdarsteller, den Untergurt-Zugstab:
Diese +30 kN Zug sind es, was die Wände rettet: Der waagerechte Schub des Sparrens wird vom Zugstab geschluckt, statt die Wand nach außen zu drücken.
Schritt 3 — Den Sparren hinauf und durch die Füllstäbe
Das W der Füllstäbe teilt sich die Arbeit.
Steigen Sie zu Knoten 4, dem Sparrenmittelknoten mit einer Last von 10 kN. Zerlegt man längs und quer zum Sparren, ergeben sich der obere Sparren und der erste geneigte Füllstab:
Beide unter Druck: Der obere Sparren drückt weiter hangaufwärts — beachten Sie, wie der Druck von 33.54 kN unterhalb der Last auf 22.36 kN oberhalb nachlässt —, während der geneigte Füllstab die Sparrenmitte von unten stützt und den Lastanteil dieses Knotens zum Zugstab hin abträgt. In Knoten 5, dem First (weitere 10 kN), macht die Symmetrie die beiden oberen Sparren gleich, und der senkrechte Füllstab hängt die Firstlast unmittelbar an den Zugstab:
Die Symmetrie füllt nun die Spiegelhälfte gratis auf — die Stäbe 5-6, 6-3 und 6-2 entsprechen ihren Zwillingen, und das entfernte Untergurtfeld 2-3 entspricht 1-2. Alle neun Stabkräfte stehen fest.
Schritt 4 — Knoten 2 schließt die Bücher
Der Knoten, den wir nie benutzt haben, ist eine eingebaute Fehlerprobe.
Ein Knoten bleibt unberührt: Knoten 2, die Mitte des Untergurts, wo der Hängestab, beide geneigten Füllstäbe und beide Gurtfelder zusammentreffen. Da jede dort ankommende Kraft anderswo ermittelt wurde, ist sein Gleichgewicht eine kostenlose Prüfung der ganzen Lösung — und sie besteht: Die senkrechten Anteile der beiden geneigten Füllstäbe () halten dem Hängestab die Waage, ihre waagerechten Anteile heben sich auf, und der Untergurt führt durchgehend konstante +30 kN. Jeder Knoten stimmt.
Der Nachweis
Handrechnung gegen den Solver, alle 9 Stäbe.
| Größe | Von Hand | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| Auflagerkräfte | 15 / 15 kN | 15 / 15 kN | |
| Untergurt (Zugstab) 1-2, 2-3 | +30 kN (T) | +30 kN | |
| Untere Sparren 1-4, 6-3 | −33.54 kN (C) | −33.541 kN | |
| Obere Sparren 4-5, 5-6 | −22.36 kN (C) | −22.361 kN | |
| Geneigte Füllstäbe 4-2, 6-2 | −11.18 kN (C) | −11.180 kN | |
| Firsthängestab 5-2 | +10 kN (T) | +10 kN |
Jeder Wert wurde von Hand mit dem klassischen Verfahren ermittelt und danach gegen den Solver dieser Website geprüft — dieselbe Engine, die die Schaltfläche Ausprobieren öffnet. Diese Übereinstimmung wird bei jedem Build automatisch neu geprüft.
Jetzt sind Sie dran
Öffnen Sie genau dieses Modell im Rechner — ändern Sie dann eine Last, ziehen Sie ein Auflager, und sehen Sie zu, wie sich jedes Diagramm in Echtzeit mitbewegt. Intuition gewinnt man am besten, indem man es kaputt macht und schaut, was passiert.
Zum Mitnehmen
Exportieren Sie dieses gelöste Beispiel als PDF oder laden Sie es als .screport herunter und öffnen Sie es im Berichtsgenerator — das Modell reist in der Datei mit, Sie können es also wiederherstellen, neu rechnen und Ihren eigenen Bericht daraus bauen.