Pratt-Fachwerk einer Trogbrücke

Die Fahrbahn hängt 125 kN an den Untergurt — 25 kN an jedem inneren Knotenpunkt —, und Fachwerk wie Belastung sind vollkommen symmetrisch zur Feldmitte. Kein Widerlager kann bevorzugt sein, jedes trägt also schlicht die Hälfte:

Zwei Zahlen, keine Algebra — doch alles Weitere geht auf sie zurück: Jede Feldquerkraft und jedes Biegemoment der späteren Schritte beginnt bei diesen 62.5 kN am Festlager.

Stellen Sie sich ans Festlager, Knoten 1. Dort treffen nur zwei Stäbe zusammen: die Enddiagonale 1-8 (unter 45°) und der Untergurt 1-2 (waagerecht). Der Gurt ist waagerecht und kann gegen die senkrechte Auflagerkraft von 62.5 kN nichts ausrichten — die Diagonale muss das Ganze über ihre senkrechte Komponente schlucken:

Die Diagonale steht unter Druck (sie stützt die Ecke ab); ihr waagerechter Zug verankert den Untergurt im Zug. Damit ist das Endfeld gelöst — doch sich Knoten für Knoten bis zu einem Stab in Feldmitte durchzuarbeiten, bräuchte ein Dutzend weiterer solcher Schritte, jeder auf dem vorigen aufbauend. Es gibt einen schnelleren Weg, und er verdient einen eigenen Schritt.

Legen Sie einen gedachten Schnitt senkrecht durch Feld 3, zwischen den belasteten Knoten 3 und 4, und werfen Sie die rechte Brückenhälfte weg. Der Schnitt trennt genau drei Stäbe — den Untergurt 3-4, die Diagonale 9-4 und den Obergurt 9-10 — und ihre unbekannten Normalkräfte wirken nun als äußere Kräfte auf das behaltene Stück. Dieses trägt die Auflagerkraft von 62.5 kN und die beiden Lasten von 25 kN in den Knoten 2 und 3 und muss wie jeder Freikörper für sich im Gleichgewicht sein.

Drei Unbekannte, drei Gleichgewichtsbedingungen — unmittelbar lösbar. Die Kunst des Verfahrens liegt aber darin, Gleichungen zu wählen, die jeweils nur eine Unbekannte einfangen. Bilden Sie die Momente um den oberen Knoten 9: Diagonale und Obergurt gehen beide durch diesen Punkt, fallen also heraus, und die Gleichung enthält nur den Untergurt. Bilden Sie die Momente um den unteren Knoten 4: Nun verschwinden Untergurt und Diagonale, übrig bleibt der Obergurt. Und das senkrechte Gleichgewicht sieht die waagerechten Gurte überhaupt nie — es liefert die Diagonale von allein. Drei Zeilen Statik, drei Stäbe unmittelbar abgelesen, wie tief im Feld sie auch liegen.

Nun die beiden Momentengleichungen aus dem Schnitt. Momente um den oberen Knoten 9 (sein Hebelarm vom Auflager beträgt 8 m) isolieren den Untergurt:

Momente um den unteren Knoten 4 (bei 12 m) isolieren den darüberliegenden Obergurt:

Untergurt unter Zug, Obergurt unter Druck — die Handschrift der Trägerbiegung. Jede Kraft fiel aus einer einzigen Gleichung, ohne Kette von Knoten dazwischen: Das Moment im Zähler ist genau das Biegemoment, das ein gewöhnlicher Träger an diesem Schnitt trüge — das Fachwerk antwortet also wie ein Träger, F = M⁄h.

Das senkrechte Gleichgewicht desselben Schnitts liefert die Diagonale. In Feld 3 ist die Querkraft die Auflagerkraft minus den beiden bereits überschrittenen Lasten, und nur die Diagonale hat eine senkrechte Komponente, um sie auszugleichen:

Jede Diagonale folgt derselben Regel, — der Betrag schrumpft zur Feldmitte hin wie die Feldquerkraft, und das Vorzeichen trennt Zug von Druck. Feld 2 trägt 62.5 − 25 = 37.5 kN Querkraft, seine Diagonale 8-3 also +53.03 kN (Z). Die Pfosten schließen dann an jedem Knoten ab:

F₂₋₈ hängt die Fahrbahnlast von 25 kN auf und steht damit unter reinem Zug. Und der mittlere Pfosten F₄₋₁₀ ist ein echter Nullstab: Bei symmetrischer Last verschwindet die Querkraft in Feldmitte, er trägt also nichts — seinen Platz verdient er erst bei unsymmetrischer Nutzlast.