Treillis Pratt de pont à tablier inférieur

Le tablier suspend 125 kN à la membrure inférieure — 25 kN à chaque point de panneau intérieur — et le treillis comme son chargement sont parfaitement symétriques par rapport à la mi-portée. Aucune culée ne peut être favorisée : chacune en porte donc simplement la moitié :

Deux nombres, aucune algèbre — mais tout ce qui suit y remonte : chaque effort tranchant de panneau et chaque moment fléchissant pris dans les étapes suivantes part de ces 62.5 kN à l’articulation.

Placez-vous à l’articulation, le nœud 1. Deux barres seulement s’y rejoignent : la diagonale d’extrémité 1-8 (à 45°) et la membrure inférieure 1-2 (horizontale). La membrure est horizontale : elle ne peut rien contre la réaction verticale de 62.5 kN — la diagonale doit tout avaler par sa composante verticale :

La diagonale est comprimée (elle étaie le coin) ; sa traction horizontale ancre la membrure inférieure en traction. Voilà le panneau d’extrémité résolu — mais peiner de nœud en nœud jusqu’à une barre de mi-portée en demanderait une douzaine d’autres, chacun alimentant le suivant. Il existe une voie plus rapide, et elle mérite une étape à elle.

Tracez une coupure imaginaire droit vers le bas à travers le panneau 3, entre les nœuds chargés 3 et 4, et jetez la moitié droite du pont. La coupure sectionne exactement trois barres — la membrure inférieure 3-4, la diagonale 9-4 et la membrure supérieure 9-10 — et leurs efforts normaux inconnus agissent désormais comme des forces extérieures sur le morceau conservé. Ce morceau porte la réaction de 62.5 kN et les deux charges de 25 kN aux nœuds 2 et 3 et, comme tout solide isolé, doit s’équilibrer à lui seul.

Trois inconnues, trois équations d’équilibre — soluble d’emblée. Mais l’art de la méthode consiste à choisir des équations qui n’attrapent qu’une inconnue à la fois. Prenez les moments autour du nœud supérieur 9 : la diagonale et la membrure supérieure passent toutes deux par ce point, elles disparaissent donc, et l’équation ne retient que la membrure inférieure. Prenez les moments autour du nœud inférieur 4 : cette fois la membrure inférieure et la diagonale s’évanouissent, ne laissant que la membrure supérieure. Et l’équilibre vertical ne voit jamais les membrures horizontales — il livre la diagonale à lui seul. Trois lignes de statique, trois barres lues directement, si profondément dans la portée soient-elles.

Écrivez maintenant les deux équations de moment de la coupure. Les moments autour du nœud supérieur 9 (son bras de levier depuis l’appui vaut 8 m) isolent la membrure inférieure :

Les moments autour du nœud inférieur 4 (à 12 m) isolent la membrure supérieure au-dessus :

Membrure inférieure tendue, membrure supérieure comprimée — la signature de la flexion d’une poutre. Chaque effort est sorti d’une seule équation, sans chaîne de nœuds intermédiaire : le moment au numérateur est exactement le moment fléchissant qu’une poutre ordinaire porterait à cette coupure — le treillis répond donc comme une poutre, F = M⁄h.

L’équilibre vertical de la même coupure vous livre la diagonale. Dans le panneau 3, l’effort tranchant vaut la réaction moins les deux charges déjà franchies, et seule la diagonale possède une composante verticale pour l’équilibrer :

Chaque diagonale suit la même règle, — l’intensité décroît vers la mi-portée comme l’effort tranchant de panneau, et le signe distingue traction et compression. Le panneau 2 porte 62.5 − 25 = 37.5 kN d’effort tranchant : sa diagonale 8-3 porte donc +53.03 kN (T). Les montants closent ensuite à chaque nœud :

F₂₋₈ suspend la charge de tablier de 25 kN : elle est donc en traction pure. Et le montant central F₄₋₁₀ est une véritable barre à effort nul : sous charge symétrique, l’effort tranchant s’annule à mi-portée, elle ne porte donc rien — elle gagne sa place seulement quand la charge d’exploitation est déséquilibrée.