Ein gesetzter Pfeiler im durchlaufenden Fachwerk
Keine Last — und über 100 kN in den Gurten eingesperrt. Senkt sich der Mittelpfeiler eines durchlaufenden Fachwerks um nur 5 mm, kämpft das überzählige Auflager gegen die Geometrie, und jeder Stab spürt es. Dieselbe Setzung unter einem statisch bestimmten Fachwerk täte überhaupt nichts. Wir lösen das sauber mit dem Kraftgrößenverfahren — die Überzählige freisetzen, den Einheitslastfall für die n-Kräfte lösen, δ₁₁ Stab für Stab tabellieren und überlagern — wobei jede Zahl aus dem Solver kommt und nicht behauptet ist.
- System
- Warren, 2 Felder × 6 m
- Fachwerkfelder
- vier, 3 m × 2.5 m hoch
- Auflager
- Festlager (1) · Rollenlager (3) · Rollenlager (5)
- Gurte
- 2000 mm²
- Diagonalen
- 1500 mm²
- 200 GPa
- Setzung
- 5 mm als −5 eingegeben, im Pfeilerknoten 3
- Statische Unbestimmtheit
- Grad 1m + r = 19 > 2j = 18
- Äußere Last
- keine
Schritt 1 — Die Überzählige wählen, das Grundsystem aufbauen
Ein Auflager zu viel — setzen Sie es frei, und das Fachwerk wird statisch bestimmt.
Zählen Sie die Unbekannten: m + r = 15 Stäbe + 4 Auflagerkomponenten = 19, gegen 2j = 18 Gleichungen. Eine Überzählige — das Fachwerk ist einfach statisch unbestimmt, die Statik allein löst es also nicht. Der Zug des Kraftgrößenverfahrens: eine Überzählige wählen und entfernen, sodass ein statisch bestimmtes Grundsystem übrig bleibt, das wir lösen können.
Die natürliche Wahl ist hier das zusätzliche Auflager — das mittlere Rollenlager im Knoten 3 (der Pfeiler, der sich setzt). Nehmen Sie es weg, und das Fachwerk liegt als Einfeldsystem über 12 m auf dem Festlager im Knoten 1 und dem Rollenlager im Knoten 5 — vollständig statisch bestimmt. Nennen Sie die Kraft, die dieses Lager trug, die Überzählige X. Wir finden X, indem wir verlangen, dass sich das freigesetzte Fachwerk im Knoten 3 um genau die Setzung des Pfeilers senkt.
Schritt 2 — Das Grundsystem unter der Einheitslast lösen
Die n-Kräfte — der Anteil jedes Stabes an einer Kraft von 1 kN im Knoten 3.
Setzen Sie X = 1 kN abwärts im Knoten 3 an und lösen Sie das freigesetzte Fachwerk nach dem Knotenpunktverfahren. Aus der Symmetrie trägt jedes Auflager 0.5 kN. Vom Festlager aus Knoten für Knoten:
Knoten 1 (Festlager, Auflagerkraft 0.5 kN nach oben). Die Enddiagonale 1–6 steigt mit sin θ = 0.8575:
Machen Sie Knoten für Knoten weiter, und das Muster tritt hervor: Der Untergurt läuft zur Mitte hin über +0.30, +0.90, +0.90, +0.30; der Obergurt über −0.60, −1.20, −0.60; die Diagonalen wechseln zwischen ±0.583. Statt alle neun Knoten auszuschreiben, zeichnet die Abbildung unten das gelöste freigesetzte Fachwerk — diese eingefärbten Kräfte SIND die n-Werte.
Schritt 3 — Die Nachgiebigkeitszahl, Stab für Stab
Wie weit sich Knoten 3 je kN verschiebt — eine Summe der virtuellen Arbeit über alle 15 Stäbe.
Die Verschiebung des Knotens 3 je dort angesetzter Krafteinheit ist das Arbeitsintegral, das sich für ein Fachwerk mit Gelenkknoten auf eine einfache Summe von über alle Stäbe reduziert (hier haben das Einheitslastsystem und das wirkliche System DIESELBEN n-Kräfte, aus N·n wird also n²):
Alle fünfzehn Stäbe mit ihren gelösten n-Werten tabelliert:
| Stab | Art | (m) | (kN) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 1–2 | Untergurt | +0.3000 | 3.000 | 400,000 | 0.675×10⁻⁶ |
| 2–3 | Untergurt | +0.9000 | 3.000 | 400,000 | 6.075×10⁻⁶ |
| 3–4 | Untergurt | +0.9000 | 3.000 | 400,000 | 6.075×10⁻⁶ |
| 4–5 | Untergurt | +0.3000 | 3.000 | 400,000 | 0.675×10⁻⁶ |
| 6–7 | Obergurt | -0.6000 | 3.000 | 400,000 | 2.700×10⁻⁶ |
| 7–8 | Obergurt | -1.2000 | 3.000 | 400,000 | 10.800×10⁻⁶ |
| 8–9 | Obergurt | -0.6000 | 3.000 | 400,000 | 2.700×10⁻⁶ |
| 1–6 | Diagonale | -0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 6–2 | Diagonale | +0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 2–7 | Diagonale | -0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 7–3 | Diagonale | +0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 3–8 | Diagonale | +0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 8–4 | Diagonale | -0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 4–9 | Diagonale | +0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 9–5 | Diagonale | -0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| δ₁₁ = Σ n²L/EA | 56.134×10⁻⁶ m/kN | ||||
Jedes oben ist die Kraft, die dieser Stab im freigesetzten Fachwerk unter der Einheitslast von 1 kN trägt — direkt vom Solver abgelesen, nicht angenommen. Gurte = 200 × 2000 = 400 000 kN; Diagonalen 200 × 1500 = 300 000 kN.
Die drei Stabfamilien tragen in genau dem Verhältnis bei, das die klassische Handrechnung liefert — Untergurte 1.35×10⁻⁵, Obergurte 1.62×10⁻⁵, Diagonalen 2.64×10⁻⁵ — in der Summe δ₁₁ = 5.613×10⁻⁵ m/kN.
Schritt 4 — Verträglichkeit: die Verschiebung gleich der Setzung setzen
Die eine Gleichung, die X festlegt.
Hier ist die physikalische Bedingung. Im wirklichen Tragwerk ist das Rollenlager vorhanden, das Fachwerk kann sich im Knoten 3 also nur so weit bewegen, wie der Pfeiler es zulässt: Es muss sich um genau Δ = 5 mm senken. Im freigesetzten Tragwerk drückt die überzählige Kraft X allein den Knoten 3 um X·δ₁₁ nach unten. Setzt man das gleich der Setzung:
Der Pfeiler drückt also mit X ≈ 89 kN nach oben gegen das Fachwerk (und aus dem Gleichgewicht antworten die beiden äußeren Auflager mit je 44.5 kN ↑). Alles nur, weil ein Auflager um fünf Millimeter abgesunken ist.
Schritt 5 — Überlagern: die wirklichen Stabkräfte
Jede Stabkraft ist n × X.
Ohne äußere Last ist die wirkliche Kraft in jedem Stab schlicht die Überzählige, skaliert mit dem n-Wert dieses Stabes — das Grundsystem trug sonst nichts:
Der mittlere Untergurt (n = 0.9): 0.9 × 89.1 = +80.2 kN (Z). Der mittlere Obergurt (n = −1.2): −1.2 × 89.1 = −106.9 kN (D). Die Diagonalen (n = ±0.583): ±51.9 kN. Die Ergebnisabbildung unten zeichnet sie alle.
Der Nachweis
Die Handrechnung gegen den Solver.
| Größe | Von Hand | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| Auflagerkraft des Pfeilers (Knoten 3) | 89.07 kN (X = Δ/δ₁₁) | −89.073 kN | |
| Äußere Auflagerkräfte (1, 5) | 44.54 kN je Auflager | 44.537 kN je Auflager | |
| Untergurt Mitte (2-3, 3-4) | +80.16 kN (Z) (n = 0.9) | +80.166 kN | |
| Obergurt Mitte (7-8) | −106.9 kN (D) (n = −1.2) | −106.888 kN | |
| Diagonalen | ±51.94 kN (n = ±0.5831) | ±51.938 kN | |
| Aufgebrachte Last | null | null |
Jeder Wert wurde von Hand mit dem klassischen Verfahren ermittelt und danach gegen den Solver dieser Website geprüft — dieselbe Engine, die die Schaltfläche Ausprobieren öffnet. Diese Übereinstimmung wird bei jedem Build automatisch neu geprüft.
Jetzt sind Sie dran
Öffnen Sie genau dieses Modell im Rechner — ändern Sie dann eine Last, ziehen Sie ein Auflager, und sehen Sie zu, wie sich jedes Diagramm in Echtzeit mitbewegt. Intuition gewinnt man am besten, indem man es kaputt macht und schaut, was passiert.
Zum Mitnehmen
Exportieren Sie dieses gelöste Beispiel als PDF oder laden Sie es als .screport herunter und öffnen Sie es im Berichtsgenerator — das Modell reist in der Datei mit, Sie können es also wiederherstellen, neu rechnen und Ihren eigenen Bericht daraus bauen.