Une pile tassée dans un treillis continu
Aucune charge — et plus de 100 kN bloqués dans les membrures. Quand la pile centrale d’un treillis continu ne descend que de 5 mm, l’appui surabondant se bat contre la géométrie et chaque barre le ressent. Le même tassement sous un treillis isostatique ne ferait strictement rien. Nous le résolvons dans les règles par la méthode des forces — en libérant l’inconnue surabondante, en résolvant le cas de charge unité pour les efforts n, en tabulant δ₁₁ barre par barre, puis en superposant — chaque nombre venant du solveur, jamais affirmé.
- Configuration
- Warren, 2 travées × 6 m
- Panneaux
- quatre de 3 m × 2.5 m de haut
- Appuis
- Articulation (1) · Appui simple (3) · Appui simple (5)
- Membrures
- 2000 mm²
- Diagonales
- 1500 mm²
- 200 GPa
- Tassement
- 5 mm saisi −5, au nœud 3 de la pile
- Hyperstaticité
- degré 1m + r = 19 > 2j = 18
- Charge appliquée
- aucune
Étape 1 — Choisir l’inconnue surabondante et construire la structure primaire
Un appui de trop — libérez-le et le treillis devient isostatique.
Comptez les inconnues : m + r = 15 barres + 4 composantes de réaction = 19, contre 2j = 18 équations. Une inconnue surabondante — le treillis est hyperstatique du premier degré, la statique seule ne peut donc pas le résoudre. Le geste de la méthode des forces est de choisir une inconnue surabondante et de la supprimer, ce qui laisse une structure primaire isostatique que nous savons résoudre.
Le choix naturel ici est l’appui en trop — l’appui simple central du nœud 3 (la pile qui tasse). Supprimez-le et le treillis devient un système sur deux appuis de 12 m, l’articulation au nœud 1 et l’appui simple au nœud 5 : parfaitement isostatique. Appelons X l’inconnue surabondante, la force que reprenait cet appui. Nous trouverons X en exigeant que le treillis libéré descende au nœud 3 exactement du tassement de la pile.
Étape 2 — Résoudre la structure primaire sous la charge unité
Les efforts n : la part de chaque barre dans une poussée de 1 kN au nœud 3.
Appliquez X = 1 kN vers le bas au nœud 3 et résolvez le treillis libéré par la méthode des nœuds. Par symétrie, chaque appui reprend 0.5 kN. En parcourant les nœuds depuis l’articulation :
Nœud 1 (articulation, réaction de 0.5 kN vers le haut). La diagonale d’extrémité 1–6 monte avec sin θ = 0.8575 :
Continuez nœud par nœud et le motif apparaît : la membrure inférieure passe par +0.30, +0.90, +0.90, +0.30 vers le centre ; la membrure supérieure par −0.60, −1.20, −0.60 ; les diagonales alternent ±0.583. Plutôt que d’écrire les neuf nœuds, la figure ci-dessous dessine le treillis libéré résolu — ces efforts colorés SONT les valeurs n.
Étape 3 — Le coefficient de flexibilité, barre par barre
De combien le nœud 3 se déplace par kN — une somme de travail virtuel sur les 15 barres.
Le déplacement du nœud 3 par unité de force appliquée en ce point est l’intégrale du travail virtuel qui, pour un treillis à nœuds articulés, se réduit à une simple somme de étendue à toutes les barres (ici le système de la charge unité et le système réel ont les MÊMES efforts n, si bien que N·n devient n²) :
En tabulant les quinze barres avec leurs valeurs n résolues :
| Barre | Type | (m) | (kN) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 1–2 | membrure inférieure | +0.3000 | 3.000 | 400,000 | 0.675×10⁻⁶ |
| 2–3 | membrure inférieure | +0.9000 | 3.000 | 400,000 | 6.075×10⁻⁶ |
| 3–4 | membrure inférieure | +0.9000 | 3.000 | 400,000 | 6.075×10⁻⁶ |
| 4–5 | membrure inférieure | +0.3000 | 3.000 | 400,000 | 0.675×10⁻⁶ |
| 6–7 | membrure supérieure | -0.6000 | 3.000 | 400,000 | 2.700×10⁻⁶ |
| 7–8 | membrure supérieure | -1.2000 | 3.000 | 400,000 | 10.800×10⁻⁶ |
| 8–9 | membrure supérieure | -0.6000 | 3.000 | 400,000 | 2.700×10⁻⁶ |
| 1–6 | diagonale | -0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 6–2 | diagonale | +0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 2–7 | diagonale | -0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 7–3 | diagonale | +0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 3–8 | diagonale | +0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 8–4 | diagonale | -0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 4–9 | diagonale | +0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 9–5 | diagonale | -0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| δ₁₁ = Σ n²L/EA | 56.134×10⁻⁶ m/kN | ||||
Chaque ci-dessus est l’effort que reprend cette barre dans le treillis libéré sous la charge unité de 1 kN — lu directement sur le solveur, non supposé. Membrures = 200 × 2000 = 400 000 kN ; diagonales 200 × 1500 = 300 000 kN.
Les trois familles de barres contribuent dans le rapport que donne la solution classique à la main — membrures inférieures 1.35×10⁻⁵, membrures supérieures 1.62×10⁻⁵, diagonales 2.64×10⁻⁵ — pour une somme δ₁₁ = 5.613×10⁻⁵ m/kN.
Étape 4 — Compatibilité : égaler le déplacement au tassement
L’unique équation qui fixe X.
Voici la condition physique. Dans la structure réelle, l’appui simple est présent : le treillis ne peut donc descendre au nœud 3 que de ce que la pile lui concède — exactement Δ = 5 mm. Dans la structure libérée, la force surabondante X fait à elle seule descendre le nœud 3 de X·δ₁₁. En égalant cela au tassement :
La pile pousse donc le treillis vers le haut avec X ≈ 89 kN (et, par équilibre, les deux appuis extérieurs réagissent chacun de 44.5 kN ↑). Le tout pour un appui qui n’a fait que descendre de cinq millimètres.
Étape 5 — Superposer : les efforts réels dans les barres
Chaque effort de barre vaut n × X.
En l’absence de toute charge extérieure, l’effort réel dans chaque barre n’est que l’inconnue surabondante multipliée par la valeur n de cette barre — la structure primaire ne portait rien d’autre :
La membrure inférieure au centre (n = 0.9) : 0.9 × 89.1 = +80.2 kN (T). La membrure supérieure au centre (n = −1.2) : −1.2 × 89.1 = −106.9 kN (C). Les diagonales (n = ±0.583) : ±51.9 kN. La figure de résultats ci-dessous les dessine toutes.
La preuve
Le calcul à la main contre le solveur.
| Grandeur | À la main | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| Réaction de la pile (nœud 3) | 89.07 kN (X = Δ/δ₁₁) | −89.073 kN | |
| Réactions extérieures (1, 5) | 44.54 kN chacune | 44.537 kN chacune | |
| Centre de la membrure inférieure (2-3, 3-4) | +80.16 kN (T) (n = 0.9) | +80.166 kN | |
| Centre de la membrure supérieure (7-8) | −106.9 kN (C) (n = −1.2) | −106.888 kN | |
| Diagonales | ±51.94 kN (n = ±0.5831) | ±51.938 kN | |
| Charge appliquée | nulle | nulle |
Chaque valeur a été calculée à la main par la méthode classique, puis confrontée au solveur de ce site — le moteur même qu’ouvre le bouton Essayer. Cette concordance est revérifiée automatiquement à chaque build.
À vous de jouer
Ouvrez ce modèle exact dans le calculateur — puis changez une charge, déplacez un appui, et regardez chaque diagramme se recalculer en temps réel. Le meilleur moyen d’acquérir de l’intuition, c’est de le casser et de voir ce qui se passe.
Emportez-le avec vous
Exportez cet exemple résolu en PDF, ou téléchargez-le en .screport et ouvrez-le dans le générateur de rapports — le modèle voyage dans le fichier : vous pouvez le reconstruire, le recalculer et bâtir votre propre rapport à partir de lui.