Una pila asentada en una celosía continua
Cero carga — y más de 100 kN bloqueados en los cordones. Cuando la pila central de una celosía continua baja solo 5 mm, el apoyo redundante pelea contra la geometría y todas las barras lo notan. El mismo asiento en una celosía isostática no haría absolutamente nada. Lo resolvemos como es debido por el método de las fuerzas —liberando la redundante, resolviendo el caso de carga unidad para los esfuerzos n, tabulando δ₁₁ barra a barra y superponiendo—, con todos los números salidos del solver, no afirmados.
- Configuración
- Warren, 2 vanos × 6 m
- Paneles
- cuatro de 3 m × 2.5 m de altura
- Apoyos
- Fijo (1) · Móvil (3) · Móvil (5)
- Cordones
- 2000 mm²
- Diagonales
- 1500 mm²
- 200 GPa
- Asiento
- 5 mm introducido como −5, en el nudo 3 de la pila
- Hiperestatismo
- grado 1m + r = 19 > 2j = 18
- Carga aplicada
- ninguna
Paso 1 — Elige la redundante y construye la estructura primaria
Un apoyo de más: libéralo y la celosía queda isostática.
Cuenta las incógnitas: m + r = 15 barras + 4 componentes de reacción = 19, frente a 2j = 18 ecuaciones. Una redundante: la celosía es hiperestática de primer grado, así que la estática sola no la resuelve. La jugada del método de las fuerzas es elegir una redundante y quitarla, dejando una estructura primaria isostática que sí podemos resolver.
La elección natural aquí es el apoyo sobrante: el apoyo móvil central del nudo 3 (la pila que asienta). Quítalo y la celosía queda biapoyada sobre 12 m, con el apoyo fijo del nudo 1 y el móvil del nudo 5: totalmente isostática. Llama X a la fuerza redundante que llevaba ese apoyo. Hallaremos X exigiendo que la celosía liberada baje en el nudo 3 exactamente lo que asienta la pila.
Paso 2 — Resuelve la estructura primaria bajo la carga unidad
Los esfuerzos n: la parte que le toca a cada barra de un empuje de 1 kN en el nudo 3.
Aplica X = 1 kN hacia abajo en el nudo 3 y resuelve la celosía liberada por el método de los nudos. Por simetría, cada apoyo lleva 0.5 kN. Recorriendo los nudos desde el apoyo fijo:
Nudo 1 (apoyo fijo, reacción de 0.5 kN hacia arriba). La diagonal de extremo 1–6 sube con sen θ = 0.8575:
Sigue nudo a nudo y aparece el patrón: el cordón inferior va +0.30, +0.90, +0.90, +0.30 hacia el centro; el superior, −0.60, −1.20, −0.60; las diagonales alternan ±0.583. En vez de escribir los nueve nudos, la figura de abajo dibuja la celosía liberada ya resuelta: esos esfuerzos coloreados SON los valores n.
Paso 3 — El coeficiente de flexibilidad, barra a barra
Cuánto se mueve el nudo 3 por cada kN: una suma de trabajo virtual sobre las 15 barras.
El descenso del nudo 3 por unidad de fuerza aplicada allí es la integral del trabajo virtual que, para una celosía de nudos articulados, se reduce a una simple suma de extendida a todas las barras (aquí el sistema de la carga unidad y el sistema real tienen los MISMOS esfuerzos n, así que N·n se convierte en n²):
Tabulando las quince barras con sus valores n ya resueltos:
| Barra | Tipo | (m) | (kN) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 1–2 | cordón inferior | +0.3000 | 3.000 | 400,000 | 0.675×10⁻⁶ |
| 2–3 | cordón inferior | +0.9000 | 3.000 | 400,000 | 6.075×10⁻⁶ |
| 3–4 | cordón inferior | +0.9000 | 3.000 | 400,000 | 6.075×10⁻⁶ |
| 4–5 | cordón inferior | +0.3000 | 3.000 | 400,000 | 0.675×10⁻⁶ |
| 6–7 | cordón superior | -0.6000 | 3.000 | 400,000 | 2.700×10⁻⁶ |
| 7–8 | cordón superior | -1.2000 | 3.000 | 400,000 | 10.800×10⁻⁶ |
| 8–9 | cordón superior | -0.6000 | 3.000 | 400,000 | 2.700×10⁻⁶ |
| 1–6 | diagonal | -0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 6–2 | diagonal | +0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 2–7 | diagonal | -0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 7–3 | diagonal | +0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 3–8 | diagonal | +0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 8–4 | diagonal | -0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 4–9 | diagonal | +0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| 9–5 | diagonal | -0.5831 | 2.915 | 300,000 | 3.304×10⁻⁶ |
| δ₁₁ = Σ n²L/EA | 56.134×10⁻⁶ m/kN | ||||
Cada de arriba es el esfuerzo que lleva esa barra en la celosía liberada bajo la carga unidad de 1 kN, leído directamente del solver y no supuesto. Cordones = 200 × 2000 = 400 000 kN; diagonales 200 × 1500 = 300 000 kN.
Las tres familias de barras contribuyen en la proporción que da la solución clásica a mano —cordones inferiores 1.35×10⁻⁵, cordones superiores 1.62×10⁻⁵, diagonales 2.64×10⁻⁵—, sumando δ₁₁ = 5.613×10⁻⁵ m/kN.
Paso 4 — Compatibilidad: iguala el descenso al asiento
La única ecuación que fija X.
Esta es la condición física. En la estructura real el apoyo móvil sigue ahí, así que la celosía solo puede moverse en el nudo 3 lo que la pila le permita: tiene que bajar exactamente Δ = 5 mm. En la estructura liberada, la fuerza redundante X por sí sola hace bajar el nudo 3 en X·δ₁₁. Igualando eso al asiento:
Así que la pila empuja hacia arriba sobre la celosía con X ≈ 89 kN (y, por equilibrio, los dos apoyos exteriores reaccionan con 44.5 kN ↑ cada uno). Todo por un apoyo que simplemente bajó cinco milímetros.
Paso 5 — Superpón: los esfuerzos reales de las barras
Cada esfuerzo de barra es n × X.
Sin ninguna carga exterior, el esfuerzo real de cada barra no es más que la redundante escalada por el valor n de esa barra: la estructura primaria no llevaba nada más:
El cordón inferior central (n = 0.9): 0.9 × 89.1 = +80.2 kN (T). El cordón superior central (n = −1.2): −1.2 × 89.1 = −106.9 kN (C). Las diagonales (n = ±0.583): ±51.9 kN. La figura de resultados de abajo los dibuja todos.
La comprobación
El cálculo a mano frente al solver.
| Magnitud | A mano | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| Reacción de la pila (nudo 3) | 89.07 kN (X = Δ/δ₁₁) | −89.073 kN | |
| Reacciones exteriores (1, 5) | 44.54 kN cada una | 44.537 kN cada una | |
| Centro del cordón inferior (2-3, 3-4) | +80.16 kN (T) (n = 0.9) | +80.166 kN | |
| Centro del cordón superior (7-8) | −106.9 kN (C) (n = −1.2) | −106.888 kN | |
| Diagonales | ±51.94 kN (n = ±0.5831) | ±51.938 kN | |
| Carga aplicada | nula | nula |
Todos los valores se han obtenido a mano por el método clásico y luego se han contrastado con el solver de este sitio, el mismo motor que abre el botón Pruébalo. Esta coincidencia se vuelve a comprobar automáticamente en cada compilación.
Ahora hazlo tuyo
Abre este mismo modelo en la calculadora, cambia una carga, arrastra un apoyo y mira cómo se actualizan todos los diagramas en tiempo real. La mejor forma de coger intuición es romperlo y ver qué pasa.
Llévatelo contigo
Exporta este ejemplo resuelto en PDF, o descárgalo como .screport y ábrelo en el generador de informes: el modelo viaja dentro del archivo, así que puedes reconstruirlo, volver a resolverlo y montar tu propio informe a partir de él.