Das einfachste Fachwerk: ein Dreieck

Sehen Sie sich das Tragwerk oben an. Drei gerade Stäbe, nur an ihren Enden miteinander verbunden — und diese Verbindungen sind Gelenke, die sich wie Türangeln verhalten: Sie lassen die Stäbe frei schwenken und können sie nicht verdrehen. Überlegen Sie nun, was ein einzelner Stab überhaupt spüren kann. Er ist an seinen beiden Enden gehalten und sonst nirgends, und die Angeln können ihn nicht biegen — er kann also nur eine Kraft entlang seiner eigenen Länge tragen. Fachleute nennen das einen Zweikraftstab, doch der Gedanke ist häuslicher als der Name: Der Stab kann seine beiden Enden zusammenziehen oder auseinanderdrücken, und mehr kann er nicht.

Die andere Regel eines Fachwerks lautet, dass Lasten nur in den Knoten angreifen — hier sitzen die 20 kN genau auf dem Firstgelenk und nicht irgendwo auf einem Stab. Fügt man beide Regeln zusammen, löst sich das ganze Tragwerk in etwas herrlich Einfaches auf: nirgends Biegung, nur Druck und Zug. Ein Fachwerk zu lösen heißt, Stab für Stab zu entscheiden, welches von beidem — und wie stark.

Eine ehrliche Anmerkung zum Bild, denn Sie begegnen ihr auf jeder Fachwerkseite hier. Die Knoten sind so gezeichnet, wie sie tatsächlich gebaut werden — als stählerne Knotenbleche mit angeschraubten Stäben — und nicht als echte Angeln. Ein wirkliches Knotenblech setzt einer Verdrehung durchaus etwas entgegen. Ingenieure rechnen es trotzdem als reibungsfreies Gelenk, weil die Stäbe schlank sind, der Einfluss klein ist und weil erst diese Annahme die Rechnung unten möglich macht. Gezeichnet wie gebaut, gerechnet wie gelenkig: Diese eine Idealisierung ist das Knotenpunktverfahren.

Bevor wir in das Dreieck hineingehen, bleiben wir außen. Die 20 kN greifen an der Spitze an, die genau in der Mitte zwischen den beiden Auflagern liegt, und das Dreieck selbst ist symmetrisch — kein Auflager kann also mehr tragen als das andere. Jedes nimmt die Hälfte:

Das ist alles, was die Außenwelt diesem Fachwerk antut: 20 kN nach unten oben, 10 kN nach oben an jedem Fuß. Jetzt können wir Knoten für Knoten herausfinden, was die Stäbe selbst tun.

Das Werkzeug heißt Knotenpunktverfahren und verlangt Ihnen sehr wenig ab. Zoomen Sie auf ein einzelnes Gelenk. Dieses Gelenk bewegt sich nicht, die dort zusammentreffenden Kräfte müssen sich also ausgleichen — waagerecht (ΣF_x = 0) und senkrecht (ΣF_y = 0). Zwei Gleichungen, wählen Sie also einen Knoten mit höchstens zwei unbekannten Kräften. Die Spitze, Knoten 3, ist ideal: Die Last von 20 kN ist bekannt, und dort treffen nur die beiden Sparren zusammen — genau zwei Unbekannte.

Zuerst die Geometrie — und hier sind die Zahlen freundlich. Jeder Sparren läuft 3 m in die Breite und 4 m in die Höhe, seine Länge beträgt also : das berühmte rechtwinklige 3-4-5-Dreieck. Von jeder Kraft F in einem Sparren wirken damit senkrecht und waagerecht — ohne Taschenrechner, ohne Tabellen.

Eine Buchführungsgewohnheit, und wir können lösen: Nehmen Sie an, jeder Stab stehe unter Zug — er ziehe vom Knoten weg, entlang seiner eigenen Achse — und lassen Sie die Algebra uns mit einem Minuszeichen korrigieren, falls wir falsch geraten haben. Aus Symmetrie tragen beide Sparren dieselbe Kraft F. Gleichgewicht der senkrechten Richtungen am Gelenk:

Lesen Sie die Gleichung, bevor Sie rechnen: Jeder Term darin zeigt nach unten — zwei angenommene Züge und die Last — und nichts drückt nach oben. Das kann nicht im Gleichgewicht sein, F musste also negativ herauskommen: Die Sparren ziehen nicht an der Spitze, sie drücken. Jeder trägt 12.5 kN Druck — er wird zwischen der drückenden Last und dem von unten stützenden Auflager zusammengepresst, und seine 0.8 × 12.5 = 10 kN senkrechter Druck halten, verdoppelt, genau die 20 kN. (Die waagerechten Anteile, je 0.6 × 12.5, heben sich aus Symmetrie auf.)

Gehen Sie nun hinunter zu Knoten 1, dem linken Fuß. Dort treffen drei Dinge zusammen: die aufwärts drückende Auflagerkraft von 10 kN, der Sparren 1-3 und der Untergurt 1-2. Wir haben eben gelernt, dass der Sparren unter Druck steht — er drückt also auf diesen Knoten weg von der Spitze: nach unten und nach außen, entlang seiner eigenen 3-4-5-Linie. Zerlegen Sie diesen Druck von 12.5 kN in seine beiden Anteile: 0.8 × 12.5 = 10 kN senkrecht nach unten und 0.6 × 12.5 = 7.5 kN nach außen. Der senkrechte Anteil geht unmittelbar in den Baugrund:

Sie stimmt genau mit der Auflagerkraft überein — unsere erste kostenlose Probe und eine Gewohnheit, die man behalten sollte. Doch die waagerechten 7.5 kN haben keinen Weg. Auf dieses Fachwerk wirken keine Seitenlasten, das Festlager hat also keine resultierende waagerechte Reaktion anzubieten — und am anderen Ende könnte das Rollenlager dem Gleiten schon im Grundsatz nichts entgegensetzen. Sich selbst überlassen, würden die beiden Füße auseinanderrutschen und das Dreieck flach werden. Der Untergurt ist das, was es verbietet: Er packt den Fuß und zieht ihn zum anderen zurück,

und diesmal kommt das Vorzeichen positiv heraus: Der Untergurt wird wirklich gedehnt — 7.5 kN Zug. Seine ganze Aufgabe ist es, das Auseinanderspreizen der Füße zu verhindern, und deshalb nennen Fachleute ihn einen Zugstab. Die Abbildung unten malt die Antwort auf das Tragwerk.