Le treillis le plus simple : un triangle

Regardez l’ossature ci-dessus. Trois barres droites, reliées entre elles uniquement à leurs extrémités — et ces liaisons sont des articulations, qui se comportent comme des gonds de porte : elles laissent les barres pivoter librement et ne peuvent pas les tordre. Pensez maintenant à ce qu’une barre peut réellement ressentir. Elle est tenue à ses deux extrémités et nulle part ailleurs, et les gonds ne peuvent pas la fléchir — la seule chose qu’elle puisse porter est donc un effort selon sa propre longueur. Les ingénieurs appellent cela une barre à deux forces, mais l’idée est plus familière que le nom : la barre peut tirer ses deux extrémités l’une vers l’autre, ou les pousser l’une loin de l’autre, et c’est tout ce qu’elle sait faire.

L’autre règle d’un treillis est que les charges n’arrivent qu’aux nœuds — ici les 20 kN se posent exactement sur l’articulation du sommet, non à mi-barre. Réunissez les deux règles et toute la structure se dissout en quelque chose de merveilleusement simple : aucune flexion nulle part, seulement des poussées et des tractions. Résoudre un treillis, c’est décider, barre par barre, laquelle des deux — et avec quelle intensité.

Une note honnête sur l’image, car vous la retrouverez sur chaque page de treillis ici. Les nœuds sont dessinés tels qu’ils sont réellement construits — des goussets en acier avec les barres boulonnées dessus — et non comme de véritables gonds. Un gousset réel résiste un peu à la rotation. Les ingénieurs l’analysent malgré tout comme une articulation sans frottement, parce que les barres sont élancées, que l’effet est faible, et que cette hypothèse est ce qui rend possible l’arithmétique ci-dessous. Dessiné tel que construit, analysé comme articulé : cette seule idéalisation, c’est la méthode des nœuds.

Avant d’entrer dans le triangle, restez à l’extérieur. Les 20 kN agissent au sommet, situé exactement à mi-distance des deux appuis, et le triangle lui-même est symétrique — aucun appui ne peut donc porter plus que l’autre. Chacun en prend la moitié :

Voilà tout ce que le monde extérieur fait à ce treillis : 20 kN vers le bas en haut, 10 kN vers le haut à chaque pied. Nous pouvons maintenant aller de nœud en nœud et découvrir ce que font les barres elles-mêmes.

L’outil s’appelle la méthode des nœuds, et il vous demande très peu. Zoomez sur une seule articulation. Cette articulation ne bouge pas : les forces qui s’y rejoignent doivent donc s’équilibrer, horizontalement (ΣF_x = 0) et verticalement (ΣF_y = 0). Deux équations : choisissez donc un nœud où deux forces au plus sont inconnues. Le sommet, le nœud 3, est parfait : la charge de 20 kN est connue, et seuls les deux arbalétriers s’y rejoignent — exactement deux inconnues.

D’abord la géométrie — et ici les nombres sont aimables. Chaque arbalétrier avance de 3 m et monte de 4 m : sa longueur vaut donc , le fameux triangle rectangle 3-4-5. Cela signifie que, de tout effort F dans un arbalétrier, agit verticalement et horizontalement — sans calculatrice ni tables trigonométriques.

Une habitude de comptabilité et nous pouvons résoudre : supposez chaque barre en traction — tirant en s’éloignant du nœud, selon sa propre ligne — et laissez l’algèbre nous corriger d’un signe moins si nous nous sommes trompés. Par symétrie, les deux arbalétriers portent le même effort F. En équilibrant les directions verticales à l’articulation :

Lisez l’équation avant l’algèbre : tous ses termes pointent vers le bas — deux tractions supposées et la charge — et rien ne pousse vers le haut. Cela ne peut pas s’équilibrer : F devait donc sortir négatif. Les arbalétriers ne tirent pas sur le sommet, ils le poussent. Chacun porte 12.5 kN de compression — il est écrasé entre la charge qui presse et l’appui qui l’étaie par en dessous, et ses 0.8 × 12.5 = 10 kN de poussée verticale, doublés, sont exactement ce qui retient les 20 kN. (Les parts horizontales, 0.6 × 12.5 de chaque côté, s’annulent par symétrie.)

Descendez maintenant au nœud 1, le pied gauche. Trois choses s’y rejoignent : la réaction de 10 kN qui pousse vers le haut, l’arbalétrier 1-3 et la barre inférieure 1-2. Nous venons d’apprendre que l’arbalétrier est comprimé : il pousse donc sur ce nœud en s’éloignant du sommet — vers le bas et vers l’extérieur, selon sa propre ligne 3-4-5. Décomposez cette poussée de 12.5 kN en ses deux parts : 0.8 × 12.5 = 10 kN droit vers le bas, et 0.6 × 12.5 = 7.5 kN vers l’extérieur. La part verticale part directement dans le sol :

Elle correspond exactement à la réaction — notre première vérification gratuite, et une habitude à garder. Mais les 7.5 kN horizontaux n’ont nulle part où aller. Ce treillis ne subit aucune charge latérale : l’articulation n’a donc aucune réaction horizontale nette à offrir — et à l’autre extrémité, l’appui simple ne pourrait pas s’opposer au glissement, même en principe. Livrés à eux-mêmes, les deux pieds glisseraient en s’écartant et le triangle s’aplatirait. La barre inférieure est ce qui l’interdit : elle saisit le pied et le ramène vers l’autre,

et cette fois le signe sort positif : la barre inférieure est bel et bien étirée — 7.5 kN de traction. Tout son travail consiste à empêcher les pieds de s’écarter, et c’est pourquoi les ingénieurs l’appellent un entrait. La figure ci-dessous peint la réponse sur l’ossature.