Ein erwärmter Stab im unbestimmten Fachwerk
Nichts rührt dieses Fachwerk an — keine Last, keine Setzung, kein falsch abgelängter Stab. Die Nachmittagssonne erwärmt lediglich eine Diagonale um 40 °C. In einem statisch bestimmten Fachwerk kostete das nichts: Der Stab wird 2 mm länger, und die Geometrie rückt still zurecht. Dieses Tragwerk — das Kreuzverband-Quadrat aus dem Fabrikationsfehler-Beispiel, mit einem Stab zu viel — weigert sich. Die Ausdehnung wird bestritten, ≈28 MPa Druck schließen sich in der erwärmten Diagonale ein, und jede Auflagerkraft bleibt exakt null. Hier rechnen wir den ganzen Eigenspannungszustand von Hand.
- Tragwerk
- 3-m-Quadrat mit Kreuzverbanddas aus dem Fabrikationsbeispiel
- Erwärmter Stab
- Diagonale 1–3, +40 °CL = 3√2 = 4.243 m
- 1.2×10⁻⁵ /°C
- Fläche (alle)
- 1500 mm²
- 200 GPa
- Last
- keine — genau darum geht es
Schritt 1 — Temperatur ist eine Last
Ein Nachmittag mit 40 °C, ausgedrückt in Millimetern.
Erwärmen Sie einen Stab, und er will länger sein. Ohne jede Behinderung wächst ein um ΔT erwärmter Stab um — reine Dehnung, keine Spannung. Für die Diagonale 1–3, mit 4242.6 mm der längste Stab im Feld:
Zwei Millimeter — und in einem statisch bestimmten Fachwerk wäre die Seite hier zu Ende. Die Geometrie würde sich einfach verschieben, um den längeren Stab aufzunehmen, und nirgends entstünde eine Kraft: genau jene kraftfreie Freiheit, die die statisch bestimmten Felder im Setzungsbeispiel genossen. Doch dieses Feld hat einen Stab zu viel: m + r = 6 + 3 = 9 > 2j = 8, einfach statisch unbestimmt. Sechs Stäbe müssen sich auf eine einzige gemeinsame Geometrie einigen, und eine Diagonale, die 2.0365 mm zu lang auftaucht — aus welchem Grund auch immer —, bleibt nur angeschlossen, wenn sie zusammengedrückt wird. Die Ausdehnung wird bestritten; die nächsten Schritte berechnen den Preis.
Schritt 2 — Derselbe Schnitt wie auf der Fabrikationsseite
δ₁₁ gehört zum Tragwerk und zum Schnitt — nicht zu dem, was die Passungenauigkeit verursacht hat.
Dies ist bewusst dasselbe Tragwerk und derselbe Schnitt wie im gelösten Beispiel zur Passungenauigkeit. Wir schneiden die erwärmte Diagonale — Stab M5 (1–3) — durch, womit ein statisch bestimmtes Fachwerk übrig bleibt, und ziehen die Schnittufer mit einem Einheits-Zugkräftepaar auseinander. Der entstehende Einheits-Kraftzustand n ist die klassische Antwort des Kreuzverband-Quadrats: in beiden Diagonalen, in allen vier Seiten. Die Nachgiebigkeit des Schnitts ist über alle Stäbe:
Identisch mit dem der Fabrikationsseite — und das muss so sein. Die Nachgiebigkeit ist eine Eigenschaft des Tragwerks und des Schnitts, nicht dessen, was die Passungenauigkeit verursacht hat: Jene Seite teilte ein Untermaß von 5 mm durch genau diese Zahl und erhielt ihre 103.55 kN. Ob falsch abgelängter oder warmer Stahl — die Antwort des Tragwerks auf „Wie schwer lässt sich dieser Schnitt verschieben?“ ändert sich nie.
Schritt 3 — Die Verträglichkeit
Das Tragwerk verweigert die 2 mm — und stellt dafür 42 kN in Rechnung.
Der Stab will um 2.0365 mm wachsen; das Tragwerk lässt ihn nicht. Die Verträglichkeit verlangt eine überzählige Kraft, die dieses Wachstum am Schnitt aufhebt:
Lesen Sie das Vorzeichen. Im Fabrikationsbeispiel kam die Diagonale zu kurz an und musste in ihre Lage gedehnt werden — X fiel positiv aus, Zug. Hier versuchte der Stab zu wachsen, also drückt das Tragwerk dagegen: X ist negativ — die erwärmte Diagonale endet unter Druck, zusammengepresst von genau den Stäben, an die sie geschraubt ist.
Schritt 4 — Der eingeprägte Zustand
28 MPa Druck aus Sonnenschein — ohne dass irgendetwas aufgebracht wird.
Jede Stabkraft folgt aus :
Das Tragwerk quetscht den Stab, der wachsen wollte — und mit ihm seine unberührte Zwillingsdiagonale —, während alle vier Seiten in Zug geraten und das Quadrat zusammenhalten. In der erwärmten Diagonale sind das
— aus einem Temperaturanstieg von 40 °C und null äußerer Last. Sonnenschein, ausgedrückt in Megapascal.
Schritt 5 — Auflagerkräfte null: ein Eigenspannungszustand
Die Auflager spüren nichts; die Stäbe spüren alles.
Der Einheits-Kraftzustand n war in sich im Gleichgewicht — ein Einheitskräftepaar quer über eine Diagonale gleicht sich vollständig an den übrigen fünf Stäben aus —, also ist es der fertige Zustand ebenfalls. An jedem Knoten schließen die Stabkräfte das Gleichgewicht ohne Hilfe des Baugrunds: Das Gelenk in Knoten 1 und das Rollenlager in Knoten 2 zeigen beide exakt null. Die Statik sieht, auf den Rand blickend, ein unbelastetes Tragwerk; ein Dehnungsmessstreifen auf irgendeinem Stab liest eine echte, bleibende Kraft.
Der Nachweis
Die Handrechnung gegen den Solver.
| Größe | Von Hand | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| Beide Diagonalen (die erwärmte 1–3 und ihr Gegenstück 2–4) | −42.18 kN (D) — X = −ΔL/δ₁₁, n = +1 | −42.18 kN | |
| Alle vier Seiten | +29.82 kN (Z) — n = −1/√2 | +29.82 kN | |
| Alle Auflagerkräfte | 0 (Eigenspannungszustand) | 0 |
Jeder Wert wurde von Hand mit dem klassischen Verfahren ermittelt und danach gegen den Solver dieser Website geprüft — dieselbe Engine, die die Schaltfläche Ausprobieren öffnet. Diese Übereinstimmung wird bei jedem Build automatisch neu geprüft.
Jetzt sind Sie dran
Öffnen Sie genau dieses Modell im Rechner — ändern Sie dann eine Last, ziehen Sie ein Auflager, und sehen Sie zu, wie sich jedes Diagramm in Echtzeit mitbewegt. Intuition gewinnt man am besten, indem man es kaputt macht und schaut, was passiert.
Zum Mitnehmen
Exportieren Sie dieses gelöste Beispiel als PDF oder laden Sie es als .screport herunter und öffnen Sie es im Berichtsgenerator — das Modell reist in der Datei mit, Sie können es also wiederherstellen, neu rechnen und Ihren eigenen Bericht daraus bauen.