Una barra calentada en una celosía hiperestática
Nada toca esta celosía: ni carga, ni asiento, ni barra mal cortada. El sol de la tarde se limita a calentar una diagonal 40 °C. En una celosía isostática eso no costaría nada: la barra crece 2 mm y la geometría se reacomoda sin más. Esta estructura —el cuadrado arriostrado en X del ejemplo de error de fabricación, con una barra de más— se niega. El crecimiento se disputa, ≈28 MPa de compresión quedan bloqueados en la diagonal calentada y todas las reacciones de apoyo siguen siendo exactamente cero. Aquí calcularemos a mano todo el estado de autotensión.
- Estructura
- cuadrado arriostrado en X de 3 mla del ejemplo de fabricación
- Barra calentada
- diagonal 1–3, +40 °CL = 3√2 = 4.243 m
- 1.2×10⁻⁵ /°C
- Área (todas)
- 1500 mm²
- 200 GPa
- Carga
- ninguna — de eso se trata
Paso 1 — La temperatura es una carga
Una tarde de 40 °C, expresada en milímetros.
Calienta una barra y querrá ser más larga. Sin coacción alguna, una barra que se calienta ΔT crece : deformación pura, tensión nula. Para la diagonal 1–3, con sus 4242.6 mm la barra más larga del panel:
Dos milímetros — y en una celosía isostática ahí se acabaría la página. La geometría se reacomodaría sin más para alojar la barra más larga y no aparecería ninguna fuerza en ningún sitio, exactamente esa libertad sin fuerzas de la que gozaban los vanos isostáticos del ejemplo de asiento. Pero este panel tiene una barra de más: m + r = 6 + 3 = 9 > 2j = 8, hiperestática de primer grado. Seis barras tienen que ponerse de acuerdo en una única geometría compartida, y una diagonal que aparece 2.0365 mm demasiado larga —por el motivo que sea— solo puede seguir conectada si la comprimen. El crecimiento se disputa; los pasos siguientes calculan el precio.
Paso 2 — El mismo corte que en la página de fabricación
δ₁₁ pertenece a la estructura y al corte, no a lo que causó el desajuste.
Esta es deliberadamente la misma estructura y el mismo corte que en el ejemplo resuelto de falta de ajuste. Cortamos la diagonal calentada —la barra M5 (1–3)—, con lo que queda una celosía isostática, y tiramos de los extremos del corte con una pareja unitaria de tracción. El estado de esfuerzos unitario resultante n es la respuesta clásica del cuadrado arriostrado en X: en las dos diagonales y en los cuatro lados. La flexibilidad del corte es extendida a todas las barras:
Idéntica a la de la página de fabricación, como no podía ser de otra manera. La flexibilidad es una propiedad de la estructura y del corte, no de lo que haya causado el desajuste: aquella página dividió un defecto de 5 mm por este mismo número para obtener sus 103.55 kN. Acero mal cortado o acero caliente, la respuesta de la estructura a «¿cuánto cuesta mover este corte?» no cambia nunca.
Paso 3 — Compatibilidad
La estructura rechaza los 2 mm — y cobra 42 kN por ello.
La barra quiere crecer 2.0365 mm; la estructura no la deja. La compatibilidad exige una fuerza redundante que anule ese crecimiento en el corte:
Lee el signo. En el ejemplo de fabricación la diagonal llegaba corta y había que estirarla para colocarla: X salía positiva, tracción. Aquí la barra intentó crecer, así que la estructura empuja en sentido contrario: X es negativa — la diagonal calentada acaba en compresión, aplastada por las mismísimas barras a las que está atornillada.
Paso 4 — El estado bloqueado
28 MPa de compresión producidos por el sol, sin nada aplicado.
Todos los esfuerzos de las barras salen de :
La estructura aplasta la barra que intentó crecer —y con ella su diagonal compañera, que nadie ha tocado—, mientras los cuatro lados se traccionan para mantener unido el cuadrado. En la diagonal calentada eso es
— a partir de una subida de temperatura de 40 °C y ninguna carga aplicada. Sol, expresado en megapascales.
Paso 5 — Reacciones nulas: un estado de autotensión
Los apoyos no notan nada; las barras lo notan todo.
El estado de esfuerzos unitario n estaba autoequilibrado —una pareja unitaria a ambos lados de una diagonal se equilibra por completo contra las otras cinco barras—, así que el estado final también lo está. En cada nudo los esfuerzos de las barras cierran el equilibrio sin ayuda del terreno: la articulación del nudo 1 y el apoyo móvil del nudo 2 marcan exactamente cero. La estática, mirando el contorno, ve una estructura descargada; una galga extensométrica en cualquier barra lee una fuerza real y permanente.
La comprobación
El cálculo a mano frente al solver.
| Magnitud | A mano | StructureCalcs | |
|---|---|---|---|
| Las dos diagonales (la calentada 1–3 y su compañera 2–4) | −42.18 kN (C) — X = −ΔL/δ₁₁, n = +1 | −42.18 kN | |
| Los cuatro lados | +29.82 kN (T) — n = −1/√2 | +29.82 kN | |
| Todas las reacciones | 0 (autotensión) | 0 |
Todos los valores se han obtenido a mano por el método clásico y luego se han contrastado con el solver de este sitio, el mismo motor que abre el botón Pruébalo. Esta coincidencia se vuelve a comprobar automáticamente en cada compilación.
Ahora hazlo tuyo
Abre este mismo modelo en la calculadora, cambia una carga, arrastra un apoyo y mira cómo se actualizan todos los diagramas en tiempo real. La mejor forma de coger intuición es romperlo y ver qué pasa.
Llévatelo contigo
Exporta este ejemplo resuelto en PDF, o descárgalo como .screport y ábrelo en el generador de informes: el modelo viaja dentro del archivo, así que puedes reconstruirlo, volver a resolverlo y montar tu propio informe a partir de él.