Une barre chauffée dans un treillis hyperstatique

Chauffez une barre et elle veut être plus longue. Libre de toute entrave, une barre réchauffée de ΔT s’allonge de — déformation pure, contrainte nulle. Pour la diagonale 1–3, la plus longue barre du panneau avec ses 4242.6 mm :

Deux millimètres — et dans un treillis isostatique, la page s’arrêterait là. La géométrie se déplacerait simplement pour accueillir la barre allongée et aucun effort n’apparaîtrait nulle part : exactement la liberté sans effort dont jouissaient les travées isostatiques de l’exemple de tassement. Mais ce panneau a une barre de trop : m + r = 6 + 3 = 9 > 2j = 8, hyperstatique du premier degré. Six barres doivent s’accorder sur une seule et même géométrie, et une diagonale qui se présente 2.0365 mm trop longue — pour quelque raison que ce soit — ne peut rester assemblée qu’en se faisant comprimer. L’allongement est contesté ; les étapes suivantes en calculent le prix.

Il s’agit délibérément de la même ossature et de la même coupe que dans l’exemple résolu de défaut d’ajustement. Nous coupons la diagonale chauffée — la barre M5 (1–3) —, ce qui laisse un treillis isostatique, et nous tirons sur les lèvres de la coupe par une paire d’efforts unitaires de traction. L’état d’efforts unitaire obtenu n est la réponse classique du carré contreventé en X : dans les deux diagonales, dans les quatre côtés. La souplesse de la coupe vaut étendue à toutes les barres :

Identique au de la page fabrication — et il ne pouvait en être autrement. La souplesse est une propriété de l’ossature et de la coupe, pas de ce qui a causé le défaut : cette page-là divisait un manque de 5 mm par ce même nombre pour obtenir ses 103.55 kN. Acier mal coupé ou acier chaud, la réponse de l’ossature à « combien coûte le déplacement de cette coupe ? » ne change jamais.

La barre veut s’allonger de 2.0365 mm ; l’ossature l’en empêche. La compatibilité exige un effort surabondant qui annule cet allongement au droit de la coupe :

Lisez le signe. Dans l’exemple de fabrication, la diagonale arrivait trop courte et devait être étirée pour se mettre en place — X ressortait positif, en traction. Ici la barre a essayé de s’allonger, alors l’ossature la repousse : X est négatif — la diagonale chauffée finit en compression, écrasée par les barres mêmes auxquelles elle est boulonnée.

Chaque effort de barre découle de :

L’ossature écrase la barre qui a voulu s’allonger — et avec elle sa diagonale jumelle, pourtant intacte — tandis que les quatre côtés se mettent en traction pour tenir le carré. Dans la diagonale chauffée, cela fait

— à partir d’une élévation de température de 40 °C et de zéro charge appliquée. Du soleil, exprimé en mégapascals.

L’état d’efforts unitaire n était auto-équilibré — une paire unitaire de part et d’autre d’une diagonale s’équilibre entièrement sur les cinq autres barres —, donc l’état final l’est aussi. À chaque nœud, les efforts de barre bouclent l’équilibre sans aucune aide du sol : l’articulation du nœud 1 et l’appui simple du nœud 2 affichent exactement zéro. La statique, qui observe la frontière, voit une structure déchargée ; une jauge de déformation collée sur n’importe quelle barre lit un effort réel et permanent.