Warren-Fachwerk nach dem Knotenpunktverfahren

Vor jeder Stabkraft die Auflager festnageln. Am Untergurt hängen drei Lasten von 20 kN, die beiden Enden müssen also zusammen mit 60 kN nach oben drücken. Das Fachwerk ist symmetrisch und seine Belastung ebenfalls — nichts bricht den Gleichstand: Jedes Ende trägt genau die Hälfte:

Mit bekannten Auflagerkräften hat jeder Knoten höchstens zwei unbekannte Stabkräfte — das Fachwerk ist statisch bestimmt (15 Stäbe + 3 Auflagerkomponenten = 18 = 2 × 9 Knoten), das Knotenpunktverfahren wickelt es also vollständig ab.

Zuerst die Geometrie, die den ganzen Weg trägt. Jede Diagonale dieses Warren-Fachwerks läuft 2 m in die Breite und 3 m in die Höhe, ist also lang, woraus und folgen. Rechnen Sie diese beiden Zahlen einmal aus — sie stehen in jeder Gleichung weiter unten.

Das Knotenpunktverfahren will ein Gelenk mit höchstens zwei Unbekannten, und Knoten 1 ist genau das: Die Auflagerkraft von 30 kN drückt nach oben, und dort treffen nur die Enddiagonale und der erste Untergurtstab zusammen. Die Diagonale ist der einzige Stab mit senkrechter Komponente, sie allein muss die Auflagerkraft aufheben:

Lassen Sie die Vorzeichen sprechen: Wir schreiben jede Kraft zugpositiv, das negative Ergebnis bedeutet also, dass die Enddiagonale unter Druck steht — sie stemmt sich wie eine Strebe gegen das Auflager — und dabei den Untergurt nach außen in den Zug schiebt.

Gehen Sie hinauf zu Knoten 6, der keine Last trägt. Seine beiden Diagonalen müssen sich senkrecht ausgleichen, und der Obergurt schließt die Waagerechte:

An Knoten 2 hängt die erste Last von 20 kN. Seine senkrechte Gleichung liefert die innere Diagonale, die waagerechte den mittleren Untergurt:

Beachten Sie den Rhythmus, in den der Weg gefunden hat: An einem unbelasteten oberen Knoten reichen die Diagonalen ihre senkrechten Anteile einfach weiter; an einem belasteten unteren Knoten muss das Paar zusätzlich die dort hängenden 20 kN schlucken. Zick, zack, weiter — dieser Wechsel ist die ganze Geschichte des Warren-Fachwerks, und Schritt 5 liest sie vollständig.

Weiter zu Knoten 7 und dieselben zwei Gleichungen angewandt, ergibt den mittleren Obergurt F₇₋₈ = −53.33 kN (D) und bestätigt die inneren Diagonalen mit ±12.02 kN. Und dort endet die Handarbeit: Fachwerk und Belastung sind beide symmetrisch zur Feldmitte, jeder Stab rechts trägt also genau das, was sein Spiegelzwilling links trägt. Über die Mittellinie hinauszugehen hieße nur, bereits vorhandene Zahlen erneut herzuleiten — alle 15 Stabkräfte liegen vor.

Treten Sie einen Schritt zurück, und das ganze Kräftefeld liest sich wie ein Satz. Der Untergurt steht unter Zug und wächst von +20 kN an den Enden auf +46.67 kN in der Mitte; der Obergurt steht unter Druck, von −40 kN auf −53.33 kN — die Gurte des verkleideten Trägers. Die Diagonalen wechseln im Zickzack zwischen Zug und Druck und führen die Querkraft ab, die zur Feldmitte hin abnimmt (daher die kleinen inneren Diagonalen mit ±12.02 kN gegenüber ±36.06 kN an den Enden).

Die Ergebnisabbildung unten zeichnet jede dieser Zahlen auf das Tragwerk — Stäbe nach Vorzeichen eingefärbt (rot Zug, blau Druck, genau wie der Fachwerkrechner sie einfärbt), die Auflagerkräfte und die überhöhte, gestrichelte Biegefigur über dem Fachwerk.