Treillis Warren par la méthode des nœuds

Avant tout effort de barre, fixez les appuis. Trois charges de 20 kN pendent de la membrure inférieure : les deux extrémités doivent donc pousser vers le haut de 60 kN au total. Le treillis est symétrique et son chargement aussi — rien ne départage : chaque extrémité en porte exactement la moitié :

Les réactions connues, chaque nœud ne compte plus que deux efforts inconnus au maximum — le treillis est isostatique (15 barres + 3 réactions = 18 = 2 × 9 nœuds), la méthode des nœuds va donc le dérouler entièrement.

D’abord la géométrie qui servira tout le parcours. Chaque diagonale de ce treillis Warren avance de 2 m et monte de 3 m : elle mesure donc , d’où et . Calculez ces deux nombres une fois — ils figurent dans toutes les équations ci-dessous.

La méthode des nœuds veut une articulation avec deux inconnues au plus, et le nœud 1 est exactement cela : la réaction de 30 kN pousse vers le haut, et seules la diagonale d’extrémité et la première barre de membrure inférieure s’y rejoignent. La diagonale est la seule barre à composante verticale : elle doit donc annuler seule la réaction :

Laissez parler les signes : nous écrivons chaque effort en traction positive, donc la réponse négative signifie que la diagonale d’extrémité est en compression — elle s’appuie sur l’appui comme une bielle — tandis qu’elle repousse la membrure inférieure vers l’extérieur, en traction.

Montez au nœud 6, qui ne porte aucune charge. Ses deux diagonales doivent s’équilibrer verticalement, et la membrure supérieure ferme l’horizontale :

Le nœud 2 porte la première charge de 20 kN. Son équation verticale donne la diagonale intérieure, son équation horizontale le centre de la membrure inférieure :

Remarquez le rythme que le parcours a pris : à un nœud supérieur non chargé, les diagonales se transmettent simplement leurs composantes verticales ; à un nœud inférieur chargé, la paire doit en plus avaler les 20 kN qui y pendent. Zig, zag, on recommence — cette alternance est toute l’histoire du treillis Warren, et l’étape 5 la lit en entier.

En poursuivant jusqu’au nœud 7 et en appliquant les deux mêmes équations, on obtient le centre de la membrure supérieure F₇₋₈ = −53.33 kN (C) et l’on confirme les diagonales intérieures à ±12.02 kN. Et c’est là que le travail manuel s’arrête : le treillis et son chargement sont tous deux symétriques par rapport à la mi-portée, donc chaque barre de droite porte exactement ce que porte sa jumelle en miroir à gauche. Dépasser l’axe ne ferait que redémontrer des nombres que nous possédons déjà — les 15 efforts de barre sont sur la table.

Prenez du recul et tout le champ d’efforts se lit comme une phrase. La membrure inférieure est en traction, croissant de +20 kN aux extrémités à +46.67 kN au centre ; la membrure supérieure est en compression, de −40 kN à −53.33 kN — les semelles de la poutre déguisée. Les diagonales alternent traction et compression au fil du zigzag, évacuant l’effort tranchant qui décroît vers la mi-portée (d’où les petites diagonales intérieures à ±12.02 kN contre ±36.06 kN aux extrémités).

La figure de résultats ci-dessous trace chacun de ces nombres sur l’ossature — barres colorées selon le signe (rouge traction, bleu compression, exactement comme le calculateur de treillis les colore), les réactions d’appui, et la déformée exagérée en tirets par-dessus le treillis.