Treillis Howe : le Pratt inversé

Trois charges de tablier de 20 kN pendent de la membrure inférieure : les deux appuis doivent donc pousser vers le haut de 60 kN au total. Le treillis et le chargement sont tous deux symétriques par rapport à la mi-portée : rien ne favorise l’une ou l’autre extrémité :

Avant les nombres, lisez le dessin : chaque nœud est représenté par un assemblage boulonné — les paires de boulons en bout de barre sont la façon dont les éclisses réelles de membrure seraient réalisées — mais le calcul idéalise malgré tout chaque nœud comme une articulation sans frottement, exactement comme l’exige la méthode des nœuds. Et le compte dit que la statique suffira : 13 barres + 3 réactions = 16 = 2 × 8 nœuds — le treillis est isostatique, le parcours nœud par nœud le déroulera donc entièrement.

Chaque panneau fait 4 m de large et le treillis 3 m de haut : chaque barre inclinée est donc l’hypoténuse d’un triangle 3-4-5 — longueur 5 m, , . Ces deux nombres portent tout le parcours. Commencez au nœud 1, où seuls l’arbalétrier d’extrémité 1-6 et la membrure inférieure 1-2 rejoignent la réaction de 30 kN — deux inconnues, deux équations :

L’arbalétrier s’appuie sur l’appui comme une bielle et repousse la membrure inférieure vers l’extérieur, en traction — jusqu’ici, n’importe quel treillis. Remontez maintenant l’arbalétrier jusqu’au nœud 6, où il rencontre la membrure supérieure 6-7 et le montant 2-6, sans charge appliquée :

Arrêtez-vous sur ce second résultat. Un montant en traction — voilà la signature du Howe. Le montant n’est pas un poteau qui étaie la membrure supérieure ; c’est une suspente, qui porte la charge de tablier du nœud 2 vers le haut jusqu’à la membrure supérieure, où les diagonales comprimées prennent le relais. Observez la répétition à chaque montant du treillis.

Le nœud 2 est celui où pend une charge de tablier de 20 kN. Quatre barres s’y rejoignent, mais deux sont déjà résolues — la membrure 1-2 (+40) et le montant 2-6 (+30) — laissant la diagonale 2-7 et la membrure 2-3. L’équation verticale équilibre la suspente connue de +30 kN contre la charge et la composante verticale de la diagonale :

Négative de nouveau : la diagonale est en compression, contreventant vers le faîte, et sa poussée horizontale fait passer la traction de la membrure inférieure de +40 à +53.333 kN vers la mi-portée. Suspente tendue, diagonale comprimée — le motif Howe est désormais pleinement visible.

Par symétrie, la diagonale de droite égale sa jumelle, F₄₋₇ = −16.667 kN, et toutes deux arrivent par en dessous au nœud de faîte 7. Leurs composantes horizontales sont égales et opposées : ΣF_x s’annule de lui-même et la membrure supérieure traverse inchangée, F₇₋₈ = F₆₋₇ = −40 kN. L’équation verticale livre alors la suspente centrale :

Traction encore — le montant central suspend la charge de tablier de mi-portée directement au faîte. Le reste est le miroir : F₄₋₅ = +40, F₃₋₄ = +53.333, F₈₋₅ = −50, F₄₋₈ = +30 kN. Les 13 efforts de barre sont sur la table, et la figure de résultats ci-dessous se lit comme une règle à deux couleurs.

Placez cette page à côté de l’exemple du pont Pratt et les deux treillis se lisent comme des négatifs photographiques l’un de l’autre. Même pont à panneaux et tablier inférieur, mêmes charges pendant à la membrure inférieure — mais le Pratt incline ses diagonales vers le bas, vers la mi-portée, et dans cet exemple les longues diagonales sont ressorties en tirants tendus (+53.03 et +17.68 kN) tandis que le montant intérieur travaillait en poteau comprimé (−12.5 kN). Ici les diagonales montent vers le haut, vers le centre, et tous les signes du treillis s’inversent : chaque diagonale intérieure est une bielle à −16.667 kN, et chaque montant une suspente tendue — +30, +20, +30 kN. Les membrures ne s’en aperçoivent pas ; traction en bas et compression en haut, c’est la même histoire dans les deux cas.