Comprendre les diagrammes d’effort tranchant et de moment fléchissant

Les diagrammes d’effort tranchant et de moment fléchissant sont des outils indispensables au dimensionnement des poutres. Ce guide explique ce qu’ils représentent, comment les tracer et comment les interpréter pour le calcul de structure. Obtenez-les instantanément avec le calculateur de poutres gratuit.

Pourquoi ces diagrammes comptent

Lorsqu’une poutre porte des charges, elle développe des efforts internes qui l’empêchent de se rompre. Ces efforts ne sont pas appliqués de l’extérieur : ils sont la réponse de la poutre aux charges extérieures. Les deux principaux efforts internes d’une poutre sont l’effort tranchant et le moment fléchissant.

Un diagramme d’effort tranchant montre comment l’effort tranchant interne varie sur la longueur de la poutre. Un diagramme de moment fléchissant montre comment varie le moment. Ensemble, ils donnent une image complète de l’état interne de la poutre, indispensable au dimensionnement.

Les ingénieurs s’en servent pour déterminer les valeurs de calcul critiques : l’effort tranchant maximal (vérification de l’âme), le moment positif maximal (résistance en flexion positive), le moment négatif maximal (résistance en flexion négative), et les endroits où ces maxima se produisent. Sans ces diagrammes, il est impossible de dimensionner une poutre sûre et économique.

Le calculateur de poutres StructureCalcs produit les deux diagrammes automatiquement et de façon interactive. Survolez n’importe quel point pour lire des valeurs exactes : c’est bien plus pratique qu’un tracé à la main.

Qu’est-ce que l’effort tranchant ?

Imaginez que vous coupiez la poutre en un point quelconque par une coupure fictive. L’effort tranchant en ce point est la force verticale nette qui agit de part et d’autre de la coupure pour maintenir l’équilibre. Il traduit la tendance d’une partie de la poutre à glisser verticalement par rapport à la partie voisine.

Mathématiquement, l’effort tranchant V dans une section vaut la somme algébrique de toutes les forces verticales situées à sa gauche (ou à sa droite) : V = ΣF(gauche). Vous pouvez le calculer d’un côté ou de l’autre de la coupure et trouver le même résultat, par équilibre.

À l’intérieur de la poutre, l’effort tranchant engendre une contrainte de cisaillement (τ) répartie sur la section. Pour une section rectangulaire, cette répartition est parabolique, maximale sur l’axe neutre et nulle aux fibres extrêmes. Pour un profilé en I, l’âme reprend l’essentiel de l’effort tranchant (c’est sa raison d’être) et les semelles très peu.

Convention de signe dans StructureCalcs : un effort tranchant positif agit vers le haut sur la face gauche de la section coupée. Une poutre ne portant que des charges descendantes aura un effort tranchant positif près de l’appui de gauche et négatif près de celui de droite.

Qu’est-ce que le moment fléchissant ?

Le moment fléchissant dans une section est l’effet de rotation net de toutes les forces situées d’un côté de cette section. C’est lui qui fait courber la poutre : les fibres d’un côté de l’axe neutre sont comprimées, celles de l’autre côté sont tendues.

Mathématiquement, le moment fléchissant M dans une section vaut la somme des moments de toutes les forces situées à sa gauche (ou à sa droite) par rapport au point de coupure : M = Σ(F × d).

Le moment positif courbe la poutre concavité vers le haut, comme un sourire. La fibre inférieure est tendue et la supérieure comprimée. C’est ce qui se produit à mi-travée d’une poutre sur deux appuis sous charges descendantes.

Le moment négatif courbe la poutre concavité vers le bas. La fibre supérieure est tendue et l’inférieure comprimée. Cela se produit au droit des appuis intermédiaires des poutres continues et sur toute la longueur d’une console sous charges descendantes.

Le moment fléchissant fixe le module de flexion nécessaire : la contrainte maximale de flexion vaut σ = M divisé par le module de flexion élastique (le moment quadratique divisé par la distance à la fibre la plus éloignée) — noté Z dans AS 4100 et NZS 3404, S dans AISC, et W_el dans l’Eurocode. Pour que la poutre soit sûre, cette contrainte ne doit pas dépasser la contrainte de flexion admissible du matériau (limite d’élasticité divisée par un coefficient de sécurité).

La relation entre charge, effort tranchant et moment

Il existe une relation mathématique fondamentale entre la charge répartie w(x), l’effort tranchant V(x) et le moment fléchissant M(x) en tout point de la poutre :

dV/dx = −w(x) — la variation de l’effort tranchant vaut l’intensité de la charge répartie changée de signe.
dM/dx = V(x) — la variation du moment fléchissant vaut l’effort tranchant.

Ces deux équations éclairent puissamment la forme des deux diagrammes :

Là où il n’y a aucune charge répartie, l’effort tranchant est constant et le moment varie linéairement.
Là où il y a une charge uniformément répartie, l’effort tranchant varie linéairement et le moment de façon parabolique (quadratique).
Une charge ponctuelle provoque un saut brutal du diagramme d’effort tranchant, égal à la valeur de la charge, et un point anguleux (changement de pente) dans celui des moments.
Un moment concentré provoque un saut brutal du diagramme des moments, mais ne change rien à celui des efforts tranchants.
Là où l’effort tranchant est nul, le moment fléchissant atteint un maximum ou un minimum local. C’est la conséquence de dM/dx = V : si V = 0, la pente de M est nulle (un point de tangente horizontale).

Ce dernier point est déterminant : le moment fléchissant maximal se produit toujours là où l’effort tranchant s’annule ou change de signe. Cherchez les passages par zéro du diagramme d’effort tranchant pour localiser le moment critique.

Comment tracer un diagramme d’effort tranchant, pas à pas

Suivez ces étapes pour construire un diagramme d’effort tranchant à la main :

Trouvez d’abord les réactions d’appui. Utilisez les équations d’équilibre (ΣFy = 0 et ΣM = 0) pour déterminer la réaction verticale de chaque appui.
Commencez par l’extrémité gauche. S’il y a une réaction ascendante RA, l’effort tranchant saute de 0 à +RA.
Avancez vers la droite. Entre deux charges ponctuelles, l’effort tranchant évolue selon la charge répartie : constant s’il n’y en a pas, linéaire si elle est uniforme, parabolique si elle est triangulaire.
À chaque charge ponctuelle ou réaction d’appui, ajoutez ou retranchez cette force à la valeur courante. Une force vers le haut augmente l’effort tranchant ; vers le bas, elle le diminue.
À l’extrémité droite, l’effort tranchant doit revenir à zéro (si la réaction de droite l’y ramène, votre diagramme est juste — c’est une vérification automatique).

Ou saisissez tout simplement votre poutre dans le calculateur de poutres et obtenez le diagramme instantanément, avec des valeurs exactes en tout point.

Comment tracer un diagramme de moment, pas à pas

Le diagramme des moments fléchissants se construit à partir de celui des efforts tranchants :

Commencez par l’extrémité gauche. Si l’appui de gauche est une articulation ou un appui simple, M = 0. S’il est encastré, M vaut le moment d’encastrement.
La variation de moment entre deux points est égale à l’aire sous le diagramme d’effort tranchant entre ces points. Cela découle de dM/dx = V, donc ΔM = ∫V dx.
Là où l’effort tranchant est positif, le moment croît (pente montante). Là où il est négatif, le moment décroît.
Là où l’effort tranchant est nul, le moment présente un extremum local (maximum positif ou négatif).
À un moment appliqué, le diagramme des moments saute de la valeur de ce moment.
Aux appuis articulés ou simples, M = 0 (ils ne peuvent pas reprendre de moment).

Règles de forme : dans les zones sans charge, le diagramme des moments est linéaire. Sous charge uniforme, il est parabolique. Sous charge triangulaire, cubique. Ces allures permettent de l’esquisser vite et de contrôler une sortie d’ordinateur.

Exemple : poutre sur deux appuis avec charge ponctuelle

Problème : une poutre sur deux appuis de 6 m porte une charge ponctuelle descendante de 12 kN à 2 m de l’appui de gauche.

Réactions :

En prenant les moments en A : RB × 6 = 12 × 2, donc RB = 4 kN. De ΣFy = 0 : RA = 12 − 4 = 8 kN.

Diagramme d’effort tranchant :

En x = 0 : V saute à +8 kN (RA).
De x = 0 à x = 2 : V = +8 kN (constant, aucune charge répartie).
En x = 2 : V chute de 12 kN, de +8 à −4 kN.
De x = 2 à x = 6 : V = −4 kN (constant).
En x = 6 : V saute de +4 kN (RB) et revient à zéro.

Diagramme de moment fléchissant :

En x = 0 : M = 0 (appui articulé).
De x = 0 à x = 2 : M croît linéairement. En x = 2 : M = 8 × 2 = 16 kN·m.
De x = 2 à x = 6 : M décroît linéairement. En x = 6 : M = 16 − 4 × 4 = 0 (vérification).
Moment maximal : 16 kN·m en x = 2 m, là où la charge est appliquée.

Vérifiez-le en saisissant le problème dans le calculateur de poutres : articulation en 0, appui simple en 6, charge ponctuelle de −12 kN à la position 2.

Figure 1.Le diagramme d’effort tranchant du problème ci-dessus, résolu : +8 kN sur les 2 premiers mètres, une chute verticale des 12 kN sous la charge, puis −4 kN jusqu’à l’appui de droite. Exactement le résultat manuel — et notez que la chute vaut la charge, jamais autre chose.

Figure 2.Son diagramme de moment : deux droites qui se rejoignent en un pic aigu de 16.0 kN·m juste sous la charge, conforme au calcul à la main. Des droites, parce que l’effort tranchant est constant de part et d’autre de la charge.

Exemple : charge uniforme sur une poutre sur deux appuis

Problème : une poutre sur deux appuis de 10 m porte une charge uniforme de 5 kN/m sur toute sa longueur.

Réactions :

Par symétrie : RA = RB = 5 × 10 / 2 = 25 kN.

Diagramme d’effort tranchant :

Partant de +25 kN (RA), l’effort tranchant décroît linéairement à raison de 5 kN/m. À mi-portée (x = 5 m) : V = 25 − 5 × 5 = 0. À l’extrémité droite (x = 10 m) : V = 25 − 5 × 10 = −25 kN, puis RB le ramène à 0. Le diagramme est une droite de +25 à −25.

Diagramme de moment fléchissant :

Le moment est parabolique, puisque l’effort tranchant est linéaire. Le maximum se produit là où V = 0, à mi-portée : Mmax = wL²/8 = 5 × 10² / 8 = 62.5 kN·m. Le diagramme est une parabole symétrique dont le sommet est à mi-portée.

Figure 3.L’effort tranchant de la charge uniforme ci-dessus : une droite descendant de +25 à −25 kN, qui coupe le zéro à mi-portée — le résultat manuel, tracé.

Figure 4.Et le moment : une parabole lisse culminant à 62.5 kN·m — wL²/8 — exactement là où l’effort tranchant a coupé le zéro. Intégrer une droite donne une parabole : toute la relation charge–effort tranchant–moment tient dans cette image.

Diagrammes des consoles

Les diagrammes d’une console ne ressemblent pas à ceux d’une poutre sur deux appuis, parce que l’encastrement reprend à la fois une force et un moment.

Console avec charge ponctuelle P en bout : le diagramme d’effort tranchant est constant, égal à +P de l’encastrement à l’extrémité libre (ou à −P en le parcourant dans l’autre sens, selon la convention de signe). Celui des moments est linéaire, de −PL à l’encastrement à zéro en bout. Toute la poutre travaille en moment négatif.

Console avec charge uniforme w : le diagramme d’effort tranchant est linéaire (de wL à l’encastrement à 0 en bout). Celui des moments est parabolique, de valeur maximale −wL²/2 à l’encastrement et nulle en bout. Là encore, toute la poutre travaille en moment négatif.

La différence essentielle avec la poutre sur deux appuis : le moment maximal est toujours à l’encastrement, jamais à mi-portée. La section la plus critique est donc l’assemblage au mur ou au poteau, qui doit pouvoir reprendre la totalité du moment d’encastrement.

Figure 5.Une console avec 20 kN en bout : l’effort tranchant est constant sur toute la longueur, car rien entre la pointe et l’appui ne vient le modifier.

Figure 6.Son moment croît linéairement de zéro en bout à 80.0 kN·m à l’appui — en moment négatif sur tout le parcours, ce qui explique que la fibre tendue d’une console soit celle du haut.

Diagrammes des poutres continues

Les poutres continues ont des diagrammes plus complexes, parce que le moment fléchissant se transmet au droit des appuis intermédiaires. Le diagramme des moments alterne en général entre positif (à mi-travée) et négatif (sur appui), d’où son allure ondulée caractéristique.

À chaque appui intermédiaire apparaît un pic de moment négatif. Entre les appuis, le moment s’inverse et atteint un maximum positif près du milieu de la travée. Les valeurs dépendent des portées, de la répartition des charges et des rapports de rigidité.

Les points d’inflexion (ou points de moment nul) sont les endroits où le moment fléchissant passe par zéro en changeant de signe. Ils comptent pour le dimensionnement, car ils indiquent où change la disposition des armatures (béton) ou les exigences de maintien latéral (acier).

Au-delà de deux travées, ces diagrammes sont trop complexes pour être tracés de façon fiable à la main. Le calculateur de poutres StructureCalcs accepte n’importe quel nombre de travées et produit automatiquement les diagrammes exacts, avec les réactions d’appui, les points d’inflexion et les valeurs de pointe à chaque section critique.

Figure 7.Deux travées de 6 m sous 12 kN/m. Le diagramme coupe l’axe deux fois : moment positif dans chaque travée, négatif sur l’appui central, avec des points d’inflexion là où il change de signe. Valeur de pointe 54.0 kN·m, sur l’appui et non en travée.

Interpréter les diagrammes pour dimensionner

Une fois les deux diagrammes en main, servez-vous-en pour dimensionner :

L’effort tranchant maximal fixe la résistance au cisaillement nécessaire de la section. Pour un profilé en I, vérifiez l’épaisseur et la hauteur de l’âme. Pour une poutre en béton, l’espacement des cadres.
Le moment positif maximal fixe les armatures inférieures nécessaires (béton) ou la taille de la semelle inférieure (acier) à mi-travée.
Le moment négatif maximal fixe les armatures supérieures nécessaires ou la résistance de la semelle supérieure sur appui.
Les points d’effort tranchant nul repèrent les moments maximaux : ce sont les sections critiques en flexion.
Les points d’inflexion aident à décider l’arrêt des armatures (béton) et la longueur de flambement latéral pour la vérification au déversement (acier).
L’allure du diagramme confirme que votre modèle se comporte comme prévu. Si le diagramme des moments semble faux (par exemple un moment négatif là où vous attendiez du positif), revérifiez les types d’appuis et le sens des charges.

Pour aller plus loin

Approfondissez l’analyse des poutres :

Calculateur de poutres — obtenez les deux diagrammes instantanément, pour toute configuration.
Qu’est-ce qu’une poutre ? — les types de poutres et quand employer chacun.
Guide du calculateur de poutres — tutoriel pas à pas.
Propriétés des profilés en acier — les propriétés de section qui gouvernent la résistance en flexion et au cisaillement.
Les bases du génie des structures — le contexte plus large du calcul des poutres.