Querkraft- und Biegemomentendiagramme verstehen

Querkraft- und Biegemomentendiagramme sind unverzichtbare Werkzeuge der Trägerbemessung. Dieser Leitfaden erklärt, was sie darstellen, wie man sie zeichnet und wie man sie für die Bemessung liest. Erzeugen Sie beide sofort mit dem kostenlosen Trägerrechner.

Warum diese Diagramme zählen

Trägt ein Träger Lasten, entstehen in ihm Schnittgrößen, die sein Versagen verhindern. Sie werden nicht von außen aufgebracht — sie sind die Antwort des Trägers auf die äußeren Lasten. Die beiden wichtigsten sind Querkraft und Biegemoment.

Ein Querkraftdiagramm zeigt, wie sich die Querkraft über die Trägerlänge ändert. Ein Biegemomentendiagramm zeigt den Verlauf des Moments. Zusammen geben sie ein vollständiges Bild des inneren Zustands — die Grundlage jeder Bemessung.

Tragwerksplaner entnehmen ihnen die maßgebenden Bemessungswerte: die größte Querkraft (Nachweis des Stegs), das größte positive Moment (Tragfähigkeit bei positiver Biegung), das größte negative Moment (Tragfähigkeit bei negativer Biegung) — und die Stellen, an denen diese Höchstwerte auftreten. Ohne diese Diagramme lässt sich kein sicherer und wirtschaftlicher Träger bemessen.

Der Trägerrechner von StructureCalcs erzeugt beide Diagramme automatisch und interaktiv. Fahren Sie über einen beliebigen Punkt, um genaue Werte abzulesen — weit praktischer als ein Diagramm von Hand.

Was ist die Querkraft?

Stellen Sie sich vor, Sie schneiden den Träger an einer beliebigen Stelle gedanklich durch. Die Querkraft an dieser Stelle ist die resultierende senkrechte Kraft, die auf beiden Seiten des Schnitts das Gleichgewicht hält. Sie beschreibt die Neigung eines Trägerteils, gegenüber dem benachbarten senkrecht abzugleiten.

Rechnerisch ist die Querkraft V in einem Schnitt die algebraische Summe aller senkrechten Kräfte links (oder rechts) davon: V = ΣF(links). Sie können von beiden Seiten rechnen und erhalten aus Gleichgewichtsgründen dasselbe Ergebnis.

Im Inneren erzeugt die Querkraft eine über den Querschnitt verteilte Schubspannung (τ). Bei einem Rechteckquerschnitt verläuft sie parabolisch, mit dem Größtwert in der Nulllinie und null an den Randfasern. Beim I-Profil nimmt der Steg fast die gesamte Querkraft auf — dafür ist er da —, die Flansche nur sehr wenig.

Vorzeichenregelung in StructureCalcs: Eine positive Querkraft wirkt an der linken Schnittfläche nach oben. Ein Träger mit ausschließlich abwärts gerichteten Lasten hat nahe dem linken Auflager eine positive und nahe dem rechten eine negative Querkraft.

Was ist das Biegemoment?

Das Biegemoment in einem Schnitt ist die resultierende Drehwirkung aller Kräfte auf einer Seite dieses Schnitts. Es krümmt den Träger: Die Fasern auf der einen Seite der Nulllinie werden gedrückt, die auf der anderen gezogen.

Rechnerisch ist das Biegemoment M in einem Schnitt die Summe der Momente aller Kräfte links (oder rechts) davon um den Schnittpunkt: M = Σ(F × d).

Ein positives Moment krümmt den Träger nach oben offen, wie ein Lächeln. Die untere Faser ist gezogen, die obere gedrückt. Das tritt in Feldmitte eines Einfeldträgers unter abwärts gerichteten Lasten auf.

Ein negatives Moment krümmt den Träger nach unten offen. Die obere Faser ist gezogen, die untere gedrückt. Das tritt über den Zwischenauflagern von Durchlaufträgern auf und über die gesamte Länge eines Kragarms unter abwärts gerichteten Lasten.

Das Biegemoment bestimmt das erforderliche Widerstandsmoment des Trägers: Die größte Biegespannung ist σ = M geteilt durch das elastische Widerstandsmoment (das Flächenträgheitsmoment geteilt durch den Abstand zur äußersten Faser) — geschrieben Z in AS 4100 und NZS 3404, S in AISC und W_el im Eurocode. Damit der Träger sicher ist, darf diese Spannung die zulässige Biegespannung des Werkstoffs (Streckgrenze geteilt durch einen Sicherheitsbeiwert) nicht überschreiten.

Der Zusammenhang zwischen Last, Querkraft und Moment

Zwischen der Streckenlast w(x), der Querkraft V(x) und dem Biegemoment M(x) besteht an jeder Stelle des Trägers ein grundlegender mathematischer Zusammenhang:

dV/dx = −w(x) — die Änderungsrate der Querkraft ist gleich der negativen Streckenlast.
dM/dx = V(x) — die Änderungsrate des Biegemoments ist gleich der Querkraft.

Diese beiden Gleichungen erklären die Form beider Diagramme:

Wo keine Streckenlast wirkt, ist die Querkraft konstant und das Moment verläuft linear.
Wo eine Gleichstreckenlast wirkt, verläuft die Querkraft linear und das Moment parabolisch (quadratisch).
Eine Einzellast erzeugt im Querkraftdiagramm einen Sprung in Höhe der Last und im Momentendiagramm einen Knick (Änderung der Steigung).
Ein Einzelmoment erzeugt im Momentendiagramm einen Sprung, lässt das Querkraftdiagramm aber unverändert.
Wo die Querkraft null ist, erreicht das Biegemoment ein örtliches Maximum oder Minimum. Das folgt aus dM/dx = V: Ist V = 0, so hat M die Steigung null (ein Extrempunkt).

Dieser letzte Punkt ist für die Bemessung entscheidend: Das größte Biegemoment tritt immer dort auf, wo die Querkraft null wird oder ihr Vorzeichen wechselt. Suchen Sie die Nulldurchgänge des Querkraftdiagramms, um das maßgebende Moment zu finden.

Ein Querkraftdiagramm Schritt für Schritt zeichnen

So bauen Sie ein Querkraftdiagramm von Hand auf:

Bestimmen Sie zuerst die Auflagerreaktionen. Nutzen Sie die Gleichgewichtsbedingungen (ΣFy = 0 und ΣM = 0), um die senkrechte Auflagerkraft an jedem Auflager zu erhalten.
Beginnen Sie am linken Ende. Gibt es dort eine nach oben gerichtete Auflagerkraft RA, springt die Querkraft von 0 auf +RA.
Gehen Sie nach rechts weiter. Zwischen Einzellasten ändert sich die Querkraft nach der Streckenlast: konstant ohne Last, linear bei Gleichlast, parabolisch bei Dreieckslast.
An jeder Einzellast oder Auflagerkraft addieren oder subtrahieren Sie diese Kraft vom aktuellen Wert. Eine Kraft nach oben vergrößert die Querkraft, eine nach unten verkleinert sie.
Am rechten Ende muss die Querkraft wieder null werden (bringt die rechte Auflagerkraft sie auf null, stimmt Ihr Diagramm — eine eingebaute Probe).

Oder geben Sie Ihren Träger einfach in den Trägerrechner ein und erhalten das Diagramm sofort, mit genauen Werten an jeder Stelle.

Ein Momentendiagramm Schritt für Schritt zeichnen

Das Biegemomentendiagramm lässt sich aus dem Querkraftdiagramm aufbauen:

Beginnen Sie am linken Ende. Ist das linke Auflager gelenkig oder beweglich, gilt M = 0. Ist es eingespannt, ist M gleich dem Einspannmoment.
Die Momentenänderung zwischen zwei Punkten ist gleich der Fläche unter dem Querkraftdiagramm zwischen ihnen. Das folgt aus dM/dx = V, also ΔM = ∫V dx.
Wo die Querkraft positiv ist, wächst das Moment (Steigung nach oben). Wo sie negativ ist, fällt es.
Wo die Querkraft null ist, hat das Moment einen örtlichen Extremwert (größtes positives oder negatives Moment).
An einem aufgebrachten Moment springt das Momentendiagramm um dessen Betrag.
An gelenkigen und beweglichen Auflagern gilt M = 0 (sie können kein Moment aufnehmen).

Formregeln: In lastfreien Bereichen verläuft das Momentendiagramm linear. Unter Gleichlast parabolisch. Unter Dreieckslast kubisch. Mit diesen Formen skizzieren Sie es rasch und prüfen eine Rechnerausgabe.

Beispiel: Einfeldträger mit Einzellast

Aufgabe: Ein 6 m langer Einfeldträger trägt 2 m vom linken Auflager eine abwärts gerichtete Einzellast von 12 kN.

Auflagerreaktionen:

Momentensumme um A: RB × 6 = 12 × 2, also RB = 4 kN. Aus ΣFy = 0: RA = 12 − 4 = 8 kN.

Querkraftdiagramm:

Bei x = 0: V springt auf +8 kN (RA).
Von x = 0 bis x = 2: V = +8 kN (konstant, keine Streckenlast).
Bei x = 2: V fällt um 12 kN, von +8 auf −4 kN.
Von x = 2 bis x = 6: V = −4 kN (konstant).
Bei x = 6: V springt um +4 kN (RB) und ist wieder null.

Biegemomentendiagramm:

Bei x = 0: M = 0 (gelenkiges Auflager).
Von x = 0 bis x = 2: M wächst linear. Bei x = 2: M = 8 × 2 = 16 kN·m.
Von x = 2 bis x = 6: M fällt linear. Bei x = 6: M = 16 − 4 × 4 = 0 (Probe).
Größtes Moment: 16 kN·m bei x = 2 m, genau unter der Einzellast.

Prüfen Sie es nach, indem Sie die Aufgabe in den Trägerrechner eingeben: Gelenk bei 0, Rollenlager bei 6, Einzellast von −12 kN an Position 2.

Abbildung 1.Das Querkraftdiagramm der obigen Aufgabe, gelöst: +8 kN auf den ersten 2 m, ein senkrechter Abfall um die vollen 12 kN unter der Last, dann −4 kN bis zum rechten Auflager. Genau das Handergebnis — und der Abfall ist so groß wie die Last, nie anders.

Abbildung 2.Das zugehörige Momentendiagramm: zwei Geraden, die sich in einer scharfen Spitze von 16.0 kN·m direkt unter der Last treffen — wie in der Handrechnung. Gerade, weil die Querkraft beiderseits der Last konstant ist.

Beispiel: Gleichlast auf einem Einfeldträger

Aufgabe: Ein 10 m langer Einfeldträger trägt auf ganzer Länge eine Gleichlast von 5 kN/m.

Auflagerreaktionen:

Aus Symmetriegründen: RA = RB = 5 × 10 / 2 = 25 kN.

Querkraftdiagramm:

Von +25 kN (RA) ausgehend fällt die Querkraft linear mit 5 kN/m. In Feldmitte (x = 5 m): V = 25 − 5 × 5 = 0. Am rechten Ende (x = 10 m): V = 25 − 5 × 10 = −25 kN, dann bringt RB sie auf 0 zurück. Das Diagramm ist eine Gerade von +25 bis −25.

Biegemomentendiagramm:

Das Moment verläuft parabolisch, weil die Querkraft linear ist. Der Größtwert liegt dort, wo V = 0 ist, also in Feldmitte: Mmax = wL²/8 = 5 × 10² / 8 = 62.5 kN·m. Das Diagramm ist eine symmetrische Parabel mit dem Scheitel in Feldmitte.

Abbildung 3.Die Querkraft der obigen Gleichlast: eine Gerade von +25 auf −25 kN, die in Feldmitte die Null schneidet — das Handergebnis, gezeichnet.

Abbildung 4.Und das Moment: eine glatte Parabel mit dem Höchstwert 62.5 kN·m — wL²/8 — genau dort, wo die Querkraft die Null geschnitten hat. Das Integral einer Geraden ist eine Parabel: der ganze Zusammenhang Last–Querkraft–Moment in einem Bild.

Diagramme beim Kragarm

Die Diagramme eines Kragarms sehen anders aus als die eines Einfeldträgers, weil die Einspannung sowohl eine Kraft als auch ein Moment aufnimmt.

Kragarm mit Einzellast P am freien Ende: Das Querkraftdiagramm ist konstant +P von der Einspannung bis zum freien Ende (oder −P in der Gegenrichtung, je nach Vorzeichenregelung). Das Momentendiagramm verläuft linear, von −PL an der Einspannung auf null am freien Ende. Der ganze Träger trägt mit negativem Moment.

Kragarm mit Gleichlast w: Das Querkraftdiagramm verläuft linear (von wL an der Einspannung auf 0 am freien Ende). Das Momentendiagramm ist parabolisch, mit dem Größtwert −wL²/2 an der Einspannung und null am freien Ende. Auch hier trägt der ganze Träger mit negativem Moment.

Der entscheidende Unterschied zum Einfeldträger: Das größte Moment liegt immer an der Einspannung, nie in Feldmitte. Der maßgebende Schnitt ist damit der Anschluss an Wand oder Stütze, der das volle Einspannmoment aufnehmen muss.

Abbildung 5.Ein Kragarm mit 20 kN an der Spitze: Die Querkraft ist über die ganze Länge konstant, weil zwischen Spitze und Auflager nichts sie ändert.

Abbildung 6.Sein Moment wächst linear von null am freien Ende auf 80.0 kN·m am Auflager — durchgehend negativ, weshalb die gezogene Seite eines Kragarms die obere ist.

Diagramme beim Durchlaufträger

Durchlaufträger haben komplexere Diagramme, weil das Biegemoment über die Zwischenauflager weitergeleitet wird. Das Momentendiagramm wechselt in der Regel zwischen positiv (in den Feldern) und negativ (über den Auflagern) und bekommt dadurch seinen kennzeichnenden welligen Verlauf.

Über jedem Zwischenauflager liegt eine Spitze des negativen Moments. Zwischen den Auflagern kehrt sich das Moment um und erreicht nahe der Feldmitte einen positiven Höchstwert. Die Größen hängen von den Stützweiten, der Lastverteilung und den Steifigkeitsverhältnissen ab.

Momentennullpunkte (Wendepunkte der Biegelinie) sind die Stellen, an denen das Biegemoment durch null geht und von positiv auf negativ wechselt oder umgekehrt. Für die Bemessung sind sie wichtig, weil dort die Bewehrungsführung (Beton) oder die Anforderungen an die seitliche Halterung (Stahl) wechseln.

Ab drei Feldern lassen sich diese Diagramme von Hand nicht mehr zuverlässig zeichnen. Der Trägerrechner von StructureCalcs verarbeitet beliebig viele Felder und liefert die exakten Diagramme von selbst — samt Auflagerreaktionen, Momentennullpunkten und Höchstwerten an jeder maßgebenden Stelle.

Abbildung 7.Zwei Felder von je 6 m unter 12 kN/m. Das Diagramm schneidet die Achse zweimal: positives Moment in jedem Feld, negatives über dem Mittelauflager, mit Nullpunkten dort, wo es das Vorzeichen wechselt. Höchstbetrag 54.0 kN·m, über dem Auflager statt im Feld.

Die Diagramme für die Bemessung lesen

Liegen beide Diagramme vor, treffen Sie damit die Bemessungsentscheidungen:

Die größte Querkraft bestimmt die erforderliche Querkrafttragfähigkeit des Querschnitts. Bei stählernen I-Profilen prüfen Sie Dicke und Höhe des Stegs, bei Betonträgern den Bügelabstand.
Das größte positive Moment bestimmt die erforderliche untere Bewehrung (Beton) oder die Größe des Untergurts (Stahl) in Feldmitte.
Das größte negative Moment bestimmt die erforderliche obere Bewehrung oder die Tragfähigkeit des Obergurts über den Auflagern.
Die Nullstellen der Querkraft zeigen, wo das größte Moment liegt — das sind die maßgebenden Schnitte für die Biegebemessung.
Die Momentennullpunkte helfen, die Bewehrungsabstufung (Beton) und die Knicklänge für den Biegedrillknicknachweis (Stahl) festzulegen.
Die Form des Diagramms bestätigt, dass sich Ihr Modell wie erwartet verhält. Sieht das Momentendiagramm falsch aus (etwa negatives Moment, wo Sie positives erwartet haben), prüfen Sie Auflagerarten und Lastrichtungen noch einmal.

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