Soll ich mein Tragwerk als Träger, Fachwerk oder Rahmen abbilden?

Zwei Fragen führen zur Antwort: Übertragen die Knoten Momente, und greifen Lasten zwischen ihnen an? Ein einzelner Stab, der zwischen Auflagern spannt und quer belastet wird, ist ein Träger. Ein triangulierter Verband mit gelenkigen Knoten, der nur in diesen Knoten belastet wird, ist ein Fachwerk. Stäbe, die sich biegen und an ihren Anschlüssen zusätzlich Momente austauschen — ein Portalrahmen, ein mehrgeschossiger Rahmen, alles was seitlich ausweicht — verlangen ein Rahmenmodell. Ein zwischen den Knoten belastetes Fachwerk ist keines mehr, und ein Träger, dessen Auflager die Verdrehung halten, gehört in Wahrheit zu einem Rahmen.

Was unterscheidet Tragwerksberechnung von Bemessung?

Die Berechnung ermittelt, welche Schnittgrößen und Verformungen ein gegebenes Tragwerk unter gegebenen Lasten entwickelt: Auflagerreaktionen, Querkraft, Biegemoment, Normalkraft, Durchbiegung. Das ist Rechnen an einem Modell, und das Ergebnis ist für alle dasselbe. Die Bemessung fragt anschließend, ob diese Schnittgrößen für das gewählte Material, den Querschnitt und den Anschluss nach einer bestimmten Norm zulässig sind — dort sitzen Ingenieururteil und Sicherheitsbeiwerte. Alle StructureCalcs-Werkzeuge rechnen; keines führt einen Tragfähigkeitsnachweis nach Norm.

Was ist ein Lastpfad?

Der Weg, den eine Last bis zum Baugrund nimmt: Decke, Nebenträger, Hauptträger, Stütze, Fundament, Boden. Ihn nachzuzeichnen ist das Erste, was man an jedem Tragwerk tut, denn jede Stufe ist ein eigenes Rechenmodell, und die Auflagerkraft der einen Stufe wird zur Last der nächsten. Der Weg ergibt sich nicht aus der Form allein — schon die Frage, ob ein Stützenfuß gelenkig oder eingespannt ist, verschiebt Biegung zwischen Stahlbau und Gründung.

Wie prüfe ich, ob ein Rechenergebnis stimmt?

Fangen Sie mit dem Gleichgewicht an. Addieren Sie die senkrechten Auflagerkräfte, die das Werkzeug ausgibt, und vergleichen Sie sie mit der aufgebrachten Gesamtlast; sie müssen übereinstimmen. Das dauert Sekunden, verlangt keine Theorie und fängt die beiden häufigsten Modellfehler überhaupt ab — eine Last mit falschem Vorzeichen und eine doppelt eingegebene Last. Prüfen Sie danach, dass das Moment an jedem Fest- oder Rollenlager null ist und dass die Querkraft dort durch null geht, wo das Moment seinen Größtwert hat.

Was unterscheidet Grenzzustand der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit?

Sie stellen verschiedene Fragen. Der Grenzzustand der Tragfähigkeit fragt, ob das Tragwerk versagt: Festigkeit, Stabilität, Knicken, Kippen — nachgewiesen mit Bemessungslasten. Der Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit fragt, ob es brauchbar bleibt: Durchbiegung, Schwingung, Rissbildung — nachgewiesen mit charakteristischen Lasten. Ein Bauteil kann den einen einhalten und den anderen verfehlen; bei großen Stützweiten ist meist die Gebrauchstauglichkeit maßgebend.

Grundlagen der Tragwerksanalyse: Lasten, Lastpfade und die Wahl des richtigen Modells

Die Orientierungsseite. Was eine Berechnung eigentlich tut, wie eine Last von ihrem Angriffspunkt bis in den Boden gelangt — und die Frage, die die anderen Leitfäden nicht beantworten können, weil sie quer zu ihnen liegt: zu welchem der fünf Werkzeuge man greift.

Was eine Berechnung ist — und was nicht

Die Berechnung eines Tragwerks beantwortet eine Frage: Welche Kraft trägt bei diesem Tragwerk und diesen Lasten jedes Teil, und wie weit bewegt sich alles? Sie ist Rechnen an einem Modell — sachlich, nachprüfbar und für alle gleich.

Die Bemessung folgt danach: Ist diese Kraft zulässig — für diesen Werkstoff, dieses Profil, diesen Anschluss, nach dieser Norm? In der Bemessung wohnen Urteilskraft, Normen und Sicherheitsbeiwerte. Jedes Werkzeug dieser Seite rechnet. Keines führt einen Normnachweis, und keines gibt vor, es zu tun — was sie liefern, ist die ehrliche Eingangsgröße, die ein Nachweis braucht.

Im Zwischenraum der beiden geschehen die meisten wirklichen Fehler. Eine Berechnung kann völlig richtig und trotzdem nutzlos sein, weil das Modell die falsche Gestalt für das Tragwerk hatte. Davon handelt der Rest dieser Seite.

Lasten: wofür Sie rechnen

Ständig (G) — bleibend und bekannt: Eigengewicht, Estriche, Ausbau, Haustechnik. Sie verschwindet nie und ist damit die eine Last, auf die man sich verlassen kann.
Nutzlast (Q) — die Nutzung: Menschen, Möbel, Lagergut, Fahrzeuge. Normen führen sie nach Nutzungsart auf, und weil sie wandert, gehört das Auffinden ihrer ungünstigsten Stellung zur Aufgabe.
Wind (W) — Druck und Sog, beides. Sog hebt Dächer an, und ein leichtes Dach unter Abheben kann seine Stäbe in die Umkehrung ihrer Schwerkraftbeanspruchung bringen.
Schnee (S) und Regen (R) — einschließlich Verwehungen an Attiken und der Pfützenbildung, bei der die Durchbiegung Wasser sammeln lässt und das zusätzliche Wasser die Durchbiegung weiter vergrößert.
Erdbeben (E) — Trägheitskräfte aus der Bodenbewegung, bestimmt durch die Masse und die Steifigkeit des Tragwerks.
Temperatur (T) und aufgezwungene Verformung — behinderte Dehnung, Auflagersenkung, ein Stab in falscher Länge gefertigt. Sie erzeugen Kräfte ganz ohne aufgebrachte Last — und nur in statisch unbestimmten Tragwerken.

Die Rechner versehen jede Last mit ihrem Lastfall und bilden für Sie Kombinationen und eine Hüllkurve, sodass Sie an jeder Stelle die ungünstigste Wirkung erhalten und nicht die ungünstigste eines einzelnen Falls. Die Beiwerte setzen Sie: Sie gehören Ihrer Norm, nicht einer Website.

Das Gleichgewicht — und die Probe, die nichts kostet

Ein Tragwerk, das sich nicht bewegt, ist im Gleichgewicht: Die Kräfte gleichen sich in jeder Richtung aus, die Momente um jeden Punkt. In der Ebene sind das drei Gleichungen — ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0 — und alles Weitere der Berechnung baut darauf auf.

Sind es drei oder weniger unbekannte Auflagerreaktionen, reichen diese Gleichungen und das Tragwerk ist statisch bestimmt. Mehr als drei, und es ist statisch unbestimmt: Die überzähligen Reaktionen hängen von den Steifigkeitsverhältnissen ab — deshalb rechnet hier jedes Werkzeug mit dem direkten Steifigkeitsverfahren statt allein mit dem Gleichgewicht.

Welches Verfahren auch immer: Prüfen Sie die Summe. Addieren Sie die senkrechten Auflagerkräfte, die das Werkzeug ausgibt, und vergleichen Sie sie mit der aufgebrachten Last. Das dauert fünf Sekunden, braucht keine Theorie und fängt die beiden häufigsten Modellierungsfehler ab — eine Last mit falschem Vorzeichen und eine Last, die doppelt eingegeben wurde.

Lastpfade — und wie sehr das Detail sie verändert

Jede Last nimmt einen Weg bis in den Boden: Platte → Nebenträger → Hauptträger → Stütze → Fundament → Baugrund. Ihn nachzuzeichnen ist das Erste, was man mit jedem Tragwerk tut, denn jedes Glied dieser Kette ist ein Berechnungsmodell, und die Auflagerkraft des einen Glieds ist die Last des nächsten.

Die Gestalt allein entscheidet den Weg nicht. Hier ein und derselbe Rahmen — 6 m Spannweite, 4 m hohe Stiele, 10 kN/m auf dem Riegel — mit zwei verschiedenen Fußpunktdetails:

Abbildung 1.Gelenkige Fußpunkte. Gesamte senkrechte Auflagerkraft 60.0 kN, passend zu den aufgebrachten 60 kN, und ein waagerechter Schub von 5.19 kN an jedem Fuß. Die Fußpunkte tragen definitionsgemäß kein Moment, die gesamte Biegung des Rahmens wird also im Stahlbau aufgenommen: 20.8 kN·m negatives Moment an den Rahmenecken und 24.2 kN·m positives Moment in Riegelmitte — das Moment, für das dieser Rahmen bemessen wird.

Abbildung 2.Derselbe Rahmen mit EINGESPANNTEN Fußpunkten. Dieselben 60.0 kN gehen nach unten, der Schub steigt auf 8.40 kN, und jeder Fuß trägt nun zusätzlich 11.1 kN·m Moment. Das negative Moment an den Rahmenecken STEIGT auf 22.5 kN·m — die Einspannung zieht das Moment zu den Enden — und ist jetzt das maßgebende Moment im Rahmen, weil das positive Feldmoment darunter gefallen ist. Nettowirkung auf den Höchstwert, für den der Stahl bemessen wird: 24.2 → 22.5 kN·m.

An Geometrie und Last hat sich nichts geändert, und doch fast jede Zahl. Die Füße einzuspannen verteilt um, statt einfach zu verringern: Die Rahmenecken arbeiten mehr, die Feldmitte weniger, das maßgebende Moment sinkt ein wenig, der Schub wächst um die Hälfte, und in einem Fundament, das zuvor keines hatte, erscheinen 11.1 kN·m. Etwas leichterer Stahl, ein merklich teureres Fundament — und ein Rahmen, der sich unter Wind weit weniger verschiebt.

Das ist ein echter ingenieurmäßiger Abwägungsfall, und er bleibt völlig unsichtbar, solange der Rahmen nicht als Rahmen modelliert wird. Er erinnert auch daran, dass „steifer“ nicht dasselbe ist wie „besser“ — es verschiebt das Problem, und man muss nachsehen, wohin.

Das ist zugleich das Argument für den Rahmenrechner statt einer Berechnung dieses Riegels als freistehender Träger: Ein freistehender Träger kann nicht wissen, dass seine Auflager die Verdrehung behindern — er findet daher weder das Fußmoment noch den waagerechten Schub, der dazugehört.

Welches Modell? Eine Entscheidung, keine Vorliebe

Die folgenreichste Entscheidung einer Berechnung ist die Wahl der Idealisierung. Die Faustregel: Fragen Sie, ob die Knoten Moment übertragen und ob Last zwischen ihnen angreift.

Werkzeug	Greifen Sie dazu, wenn	Es liefert Ihnen
Träger	Ein einzelner Stab, der zwischen Auflagern spannt und quer belastet ist. Deckenträger, Stürze, Pfetten, Hauptträger, Kragarme, Durchlaufträger über mehrere Auflager.	Die Auflagerreaktionen sowie Querkraft, Biegemoment, Normalkraft und Durchbiegung über die Spannweite.
Fachwerk	Ein dreiecksverbandenes Tragwerk mit gelenkigen Knoten, nur in den Knoten belastet. Dachbinder, Brückenfachwerke, Freileitungsmasten.	Die Normalkraft in jedem Stab, Zug oder Druck, dazu die Knotenverschiebungen.
Rahmen	Stäbe, die sich biegen UND an ihren Knoten Moment austauschen. Rahmen, mehrgeschossige biegesteife Rahmen, alles, was sich seitlich verschiebt.	Die Auflagerreaktionen sowie Normalkraft-, Querkraft- und Momentendiagramme an jedem Stab des Rahmens.
Querschnitt	Der Querschnitt ist kein Katalogprofil. Blechträger, Träger mit Lamellen, Verbunddecken, Schienen, Querschnitte mit Löchern.	A, I, Z, S, r, die Hauptachsen und die plastische Nulllinie.
Berichts-Editor	Die Berechnung muss Ihren Bildschirm verlassen — eine Einreichung, ein Prüfsatz, etwas, das ein Prüfer unterschreibt.	Ein Dokument auf Word-Niveau, mit den lebenden Diagrammen und Ergebnistabellen aus den Rechnern.

Zwei Grenzfälle verdienen einen Namen. Ein Fachwerk, das zwischen seinen Knoten belastet wird, ist kein Fachwerk mehr — der Gurt biegt sich, und das verlangt ein Rahmenmodell oder einen gesonderten örtlichen Trägernachweis. Und ein Träger, dessen Auflager die Verdrehung behindern, gehört in Wahrheit zu einem Rahmen: Ihn allein zu modellieren ist für den Träger auf der sicheren Seite, weil seine Momente größer herauskommen — es verbirgt aber stillschweigend das Moment, das die Stützen aufnehmen.

Wie ein Auftrag durch die fünf Werkzeuge läuft

Zeichnen Sie den Lastpfad nach und entscheiden Sie, wo jede Berechnung beginnt und endet.
Berechnen Sie jedes Bauteil — Träger, Fachwerk oder Rahmen. Die Auflagerkräfte des einen werden zu den Lasten des nächsten.
Beschaffen Sie die Querschnittswerte — wählen Sie ein Katalogprofil aus der eingebauten Bibliothek, oder zeichnen Sie den wirklichen Querschnitt im Querschnittsrechner und geben Sie sein I direkt in die Berechnung zurück.
Weisen Sie Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit nach Ihrer Norm nach, mit den Höchstwerten der Schnittgrößen und Durchbiegungen aus der Berechnung.
Iterieren Sie. Ein anderes Profil ändert das Eigengewicht und damit die Antwort; die Rechner lösen beim Tippen neu, das kostet also nichts.
Schreiben Sie es auf — fügen Sie Diagramme und Ergebnistabellen in den Berichtsgenerator ein, damit die Abbildungen im Bericht die des Lösers sind und keine Bildschirmfotos, die veralten.

Es gibt auch eine API, falls Sie diese Schleife lieber skripten als klicken: dieselbe Maschine, dieselben Antworten, über HTTP.

Sicherheitsbeiwerte, kurz

Moderne Normen arbeiten mit der Grenzzustandsbemessung: Lasten werden erhöht, Werkstofffestigkeiten abgemindert, und der Nachweis lautet, dass die Bemessungstragfähigkeit die Bemessungseinwirkung übersteigt. Die beiden Familien von Grenzzuständen stellen verschiedene Fragen —

Tragfähigkeit (GZT) — versagt es? Tragfähigkeit, Stabilität, Knicken, Kippen.
Gebrauchstauglichkeit (GZG) — ist es brauchbar? Durchbiegung, Schwingung, Rissbildung. Nachgewiesen unter unbeiwerteten Lasten.

Die Beiwerte selbst gehören der für Sie maßgebenden Norm — AS/NZS, AISC 360, den Eurocodes, IS 800 — und sie unterscheiden sich zwischen ihnen. Die Ergebnisse hier sind unbeiwertet und ehrlich; die richtigen Beiwerte anzusetzen ist Sache der Ingenieurin, und dort gehört es hin.

Wie es weitergeht

Wie man einen Träger berechnet — Auflager, Lasten und die vier Diagramme, alle gezeichnet.
Wie man ein Fachwerk berechnet — Knoten, Schnitte und was das Weggrößenverfahren hinzufügt.
Stahlprofile verstehen — wofür I, Z, S und r wirklich da sind.
Die 35 gelösten Beispiele — Träger, Fachwerk, Rahmen und Querschnitt, jedes von Hand gelöst und gegen den Löser geprüft.

Häufige Fragen

Soll ich mein Tragwerk als Träger, Fachwerk oder Rahmen abbilden?: Zwei Fragen führen zur Antwort: Übertragen die Knoten Momente, und greifen Lasten zwischen ihnen an? Ein einzelner Stab, der zwischen Auflagern spannt und quer belastet wird, ist ein Träger. Ein triangulierter Verband mit gelenkigen Knoten, der nur in diesen Knoten belastet wird, ist ein Fachwerk. Stäbe, die sich biegen und an ihren Anschlüssen zusätzlich Momente austauschen — ein Portalrahmen, ein mehrgeschossiger Rahmen, alles was seitlich ausweicht — verlangen ein Rahmenmodell. Ein zwischen den Knoten belastetes Fachwerk ist keines mehr, und ein Träger, dessen Auflager die Verdrehung halten, gehört in Wahrheit zu einem Rahmen.
Was unterscheidet Tragwerksberechnung von Bemessung?: Die Berechnung ermittelt, welche Schnittgrößen und Verformungen ein gegebenes Tragwerk unter gegebenen Lasten entwickelt: Auflagerreaktionen, Querkraft, Biegemoment, Normalkraft, Durchbiegung. Das ist Rechnen an einem Modell, und das Ergebnis ist für alle dasselbe. Die Bemessung fragt anschließend, ob diese Schnittgrößen für das gewählte Material, den Querschnitt und den Anschluss nach einer bestimmten Norm zulässig sind — dort sitzen Ingenieururteil und Sicherheitsbeiwerte. Alle StructureCalcs-Werkzeuge rechnen; keines führt einen Tragfähigkeitsnachweis nach Norm.
Was ist ein Lastpfad?: Der Weg, den eine Last bis zum Baugrund nimmt: Decke, Nebenträger, Hauptträger, Stütze, Fundament, Boden. Ihn nachzuzeichnen ist das Erste, was man an jedem Tragwerk tut, denn jede Stufe ist ein eigenes Rechenmodell, und die Auflagerkraft der einen Stufe wird zur Last der nächsten. Der Weg ergibt sich nicht aus der Form allein — schon die Frage, ob ein Stützenfuß gelenkig oder eingespannt ist, verschiebt Biegung zwischen Stahlbau und Gründung.
Wie prüfe ich, ob ein Rechenergebnis stimmt?: Fangen Sie mit dem Gleichgewicht an. Addieren Sie die senkrechten Auflagerkräfte, die das Werkzeug ausgibt, und vergleichen Sie sie mit der aufgebrachten Gesamtlast; sie müssen übereinstimmen. Das dauert Sekunden, verlangt keine Theorie und fängt die beiden häufigsten Modellfehler überhaupt ab — eine Last mit falschem Vorzeichen und eine doppelt eingegebene Last. Prüfen Sie danach, dass das Moment an jedem Fest- oder Rollenlager null ist und dass die Querkraft dort durch null geht, wo das Moment seinen Größtwert hat.
Was unterscheidet Grenzzustand der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit?: Sie stellen verschiedene Fragen. Der Grenzzustand der Tragfähigkeit fragt, ob das Tragwerk versagt: Festigkeit, Stabilität, Knicken, Kippen — nachgewiesen mit Bemessungslasten. Der Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit fragt, ob es brauchbar bleibt: Durchbiegung, Schwingung, Rissbildung — nachgewiesen mit charakteristischen Lasten. Ein Bauteil kann den einen einhalten und den anderen verfehlen; bei großen Stützweiten ist meist die Gebrauchstauglichkeit maßgebend.