Was unterscheidet Festlager, Rollenlager und Einspannung?

Das Rollenlager hält nur senkrecht, der Träger kann sich also verdrehen und in Längsrichtung verschieben. Das Festlager hält senkrecht und waagerecht, lässt die Verdrehung aber zu und liefert deshalb kein Einspannmoment. Die Einspannung hält alle drei — senkrecht, waagerecht und die Verdrehung — und gibt daher zusätzlich zur Kraft ein Moment ab. Die Wahl verändert das Ergebnis erheblich: Beim selben 8 m langen Träger unter denselben 10 kN/m sinkt das größte Biegemoment durch beidseitige Einspannung von 80 auf 53.3 kN·m und wandert von Feldmitte zu den Auflagern.

Wo tritt am Träger das größte Biegemoment auf?

Dort, wo die Querkraft durch null geht. Das ist die nützlichste Regel, um beide Linien gemeinsam zu lesen: Das Biegemoment ist das Integral der Querkraft und erreicht deshalb genau dort ein örtliches Größt- oder Kleinstmaß, wo die Querkraft ihr Vorzeichen wechselt. Beim Einfeldträger unter Gleichlast liegt diese Stelle in Feldmitte, beim Kragarm liegt das größte Moment an der Einspannung, und beim Durchlaufträger gibt es je Feld eine solche Stelle sowie über jedem Zwischenauflager ein Stützmoment.

Woran erkenne ich, ob die Durchbiegung meines Trägers zulässig ist?

Vergleichen Sie sie mit dem Grenzwert Ihrer Norm. Übliche Werte sind L/250 für die Gesamtdurchbiegung eines Deckenträgers, L/300 allein aus Nutzlast, L/360 bei getragenen spröden Ausbauteilen, L/180 für ein Dach ohne Decke darunter und L/500 bei Glas oder empfindlichen Geräten. Maßgebend ist immer der Wert Ihrer Norm, nicht eine allgemeine Zahl. Hält der Träger die Durchbiegung nicht ein, hilft ein steiferer Querschnitt — mehr Flächenträgheitsmoment — und kein festerer: Die Durchbiegung hängt nicht von der Streckgrenze ab.

Was ist ein statisch unbestimmter Träger?

Ein Träger mit mehr unbekannten Auflagerreaktionen, als die drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene lösen können. Ein Feld auf Fest- und Rollenlager ist statisch bestimmt; kommt ein drittes Auflager hinzu oder wird ein Ende eingespannt, hängen die Auflagerkräfte zusätzlich von der Steifigkeitsverteilung ab und nicht mehr allein von der Geometrie. Handverfahren brauchen dann neben dem Gleichgewicht auch Verträglichkeitsbedingungen — deshalb rechnet StructureCalcs mit dem direkten Steifigkeitsverfahren: Für die bedienende Person ist ein Durchlaufträger nicht schwerer einzugeben als ein Einfeldträger.

Kann ein Träger neben Biegung auch Normalkraft aufnehmen?

Ja, und StructureCalcs zeigt es. Greift eine Einzellast schräg statt senkrecht an, läuft ihre waagerechte Komponente als Normalkraft durch den Träger und erscheint in einem vierten Diagramm neben Querkraft, Moment und Durchbiegung. Die Auflager liefern dann zusätzlich zur senkrechten eine waagerechte Reaktion. Ein Bauteil unter Biegung und Normalkraft ist ein Biegeknickstab, und sein Nachweis ist ein kombinierter, nicht einer auf Biegung allein.

Wie man einen Träger berechnet: Auflager, Lasten und die vier Diagramme

Eine anschauliche Referenz. Jede Abbildung auf dieser Seite ist ein echtes Modell, gelöst von derselben Maschine, die den Trägerrechner antreibt, und gezeichnet von demselben Code, der dessen Arbeitsfläche zeichnet — was Sie hier sehen, ist also genau das, was das Werkzeug liefert. Vollständige Handrechnungen finden Sie in den zehn gelösten Trägerbeispielen.

Was eine Trägerberechnung liefern muss

Ein Träger trägt Last durch Biegung. Die Berechnung beantwortet vier Fragen dazu, und eine vollständige Antwort besteht aus vier Diagrammen plus den Auflagerreaktionen — nicht aus einer einzigen Zahl.

Abbildung 1.Der Referenzträger dieser Seite: 8 m, links gelenkig, rechts Rollenlager, mit 10 kN/m belastet. Die violetten Pfeile sind die berechneten Auflagerreaktionen; die gestrichelte Linie ist die Biegelinie, überhöht dargestellt.

Auflagerreaktionen — womit die Auflager gegenhalten. Ihre Summe muss die aufgebrachte Last genau ausgleichen; diese Probe ist das Erste, was man mit jedem Ergebnis macht.
Querkraft — die Schnittgröße, die einen Trägerteil gegen den nächsten abgleiten lassen will. Sie bestimmt die Stegdicke und die Querkraftanschlüsse.
Biegemoment — das innere Kräftepaar, das den Träger krümmt. Es bestimmt die Profilgröße und ist das Diagramm, mit dem die meiste Bemessungsarbeit beginnt.
Durchbiegung — wie weit sich der Träger tatsächlich bewegt. Die Tragfähigkeit verhindert den Bruch, die Durchbiegung erhält die Brauchbarkeit.

Für diesen Träger liefert die Maschine ein größtes Moment von 80.0 kN·m in Feldmitte und eine größte Durchbiegung von 26.67 mm — das wL²/8 und das 5wL⁴/384EI aus dem Lehrbuch, eine nützliche Erinnerung daran, dass die klassischen Formeln Sonderfälle dessen sind, was der Löser allgemein tut.

Auflager: was jedes hält

Ein Auflager ist dadurch bestimmt, was es verhindert. Derselbe Träger unter derselben Last liefert je nach Halterung an seinen Enden drei verschiedene Antworten — deshalb wiegt die richtige Wahl der Auflagerart schwerer als fast jede andere Modellierungsentscheidung.

Rollenlager — hält nur die senkrechte Bewegung. Der Träger kann sich verdrehen und in Längsrichtung verschieben. Man setzt es ein, wo Wärmedehnung zugelassen werden muss, etwa an einem Ende eines Brückenträgers auf einem Gleitlager.
Gelenklager — hält die senkrechte und die waagerechte Bewegung, lässt aber die Verdrehung zu. Es liefert kein Einspannmoment. Eine einzelne Schraubengruppe in einem Träger-Stützen-Anschluss wird meist als Gelenk modelliert.
Einspannung — hält alle drei: senkrecht, waagerecht und Verdrehung. Sie liefert deshalb ein Einspannmoment. Ein voll geschweißter Träger-Stützen-Knoten oder ein in eine Betonwand einbetonierter Träger.

Abbildung 2.Dieselbe Spannweite und dieselben 10 kN/m, mit dem linken Ende EINGESPANNT statt gelenkig. Die Einspannung liefert nun ein Moment von 80.0 kN·m, und die Auflagerkräfte sind nicht mehr gleich — das steifere Ende zieht mehr Last an.

Abbildung 3.Beidseitig eingespannt. Die Einspannmomente steigen auf je 53.3 kN·m, und das positive Feldmoment sinkt auf ein Drittel des gelenkig gelagerten Werts — dieselbe Last, weit wirtschaftlicher abgetragen, um den Preis von Anschlüssen, die die Einspannung auch wirklich liefern.

Beide Enden des Referenzträgers einzuspannen senkt sein größtes Moment von 80.0 auf 53.3 kN·m. Das ist das ganze Argument für Durchlaufwirkung — und zugleich ihre Warnung: Die Berechnung liefert sie nur, wenn der wirkliche Anschluss sie liefert.

Lasten: was jede mit den Diagrammen macht

Vier Lasttypen decken fast alles ab, was einem Träger begegnet, und jeder hinterlässt in den Diagrammen eine Signatur, die man auf den ersten Blick erkennen können sollte.

Abbildung 4.Alle vier auf einem Träger: eine Einzellast von 20 kN bei 2 m, eine Gleichlast von 8 kN/m von 4 bis 7 m, eine bis 12 kN/m ansteigende Last von 8 bis 11 m und ein aufgebrachtes Moment von 25 kN·m bei 11.5 m.

Einzellast — eine Kraft an einer Stelle: eine Stütze, die auf einem Abfangträger landet, eine auf einer Decke verschraubte Maschine. Sie erzeugt im Querkraftdiagramm einen senkrechten Sprung und im Momentendiagramm einen Knick.
Gleichstreckenlast — gleichbleibende Größe über eine Länge: Eigengewicht einer Platte, ein Fußbodenaufbau. Darunter verläuft die Querkraft linear und das Moment parabolisch.
Veränderliche Last — trapez- oder dreieckförmig: Erd- oder Wasserdruck, mit der Höhe zunehmender Wind. Die Querkraft wird parabolisch, das Moment kubisch.
Aufgebrachtes Moment — ein reines Kräftepaar ohne resultierende Kraft, aus einer ausmittigen Konsole oder einer eingeleiteten Einspannung. Es erzeugt im Momentendiagramm einen Sprung und lässt die Querkraft unberührt.

Eine Flächenlast ist dasselbe, ausgedrückt als Druck (kN/m²) mal Einzugsbreite. Geben Sie dem Rechner Druck und Breite an beiden Enden, und er rechnet in die gleichwertige Streckenlast um — das erspart genau den Rechenschritt, bei dem üblicherweise Fehler entstehen.

Das Querkraftdiagramm lesen

Abbildung 5.Die Querkraft des Referenzträgers. Sie beginnt bei der linken Auflagerkraft, fällt unter der Gleichlast linear ab und schneidet in Feldmitte die Null — genau dort, wo das Moment seinen Höchstwert hat.

Eine Einzellast (oder eine Auflagerkraft) lässt die Querkraft um ihren eigenen Betrag springen.
Eine Gleichlast lässt sie linear abfallen, eine veränderliche Last parabolisch.
Wo nichts angreift, ist die Querkraft konstant.
Wo die Querkraft die Null schneidet, hat das Biegemoment ein örtliches Maximum oder Minimum.

Diese letzte Regel lohnt es sich zu verinnerlichen: Sie sagt Ihnen, wo Sie im Momentendiagramm hinsehen müssen, ohne es zu lesen, und ist eine schnelle Probe darauf, dass ein Ergebnis in sich stimmig ist. Fahren Sie (oder tippen Sie am Telefon) an eine beliebige Stelle des Diagramms im Rechner, um Wert und Ort genau abzulesen.

Das Biegemomentendiagramm lesen

Abbildung 6.Das Moment des Referenzträgers — die Parabel, die eine Gleichlast stets erzeugt, mit dem Höchstwert 80.0 kN·m in Feldmitte. Positives Moment ist hier oberhalb der Achse aufgetragen; der Rechner hat einen Schalter zum Spiegeln, falls Ihre Konvention andersherum ist.

An einem Gelenk- oder Rollenlager ist das Moment null — diese Auflager können keines aufnehmen.
An einer Einspannung ist es nicht null: Das Einspannmoment ist eine Auflagerreaktion.
Unter einer Einzellast knickt das Diagramm, bleibt aber stetig.
Ein aufgebrachtes Moment lässt es springen.
Unter einer Gleichlast ist es parabolisch; der Scheitel liegt dort, wo die Querkraft die Null schneidet.

Die Vorzeichenregel ist die übliche Quelle von Verwirrung, und sie ist eine Regel, keine Tatsache — verschiedene Lehrbücher tragen das positive Moment nach oben oder nach unten auf. StructureCalcs trägt es voreingestellt oberhalb der Achse auf und lässt Sie es spiegeln, damit es zu dem passt, was Ihre Vorlesung oder Ihr Büro verwendet. Die Spiegelung wirkt bis ins PDF und in den Berichtsgenerator — das Papier widerspricht also nie dem Bildschirm.

Das Normalkraftdiagramm — und Lasten, die nicht senkrecht sind

Nicht jede Last auf einem Träger zeigt senkrecht nach unten. Eine schräge Hängestange, eine Schrägstütze, ein Rückverankerungsseil, Wind auf einem geneigten Bauteil — sie alle drücken längs des Trägers ebenso wie quer dazu. Geben Sie einer Einzellast einen Winkel, und der Rechner zerlegt sie: Der senkrechte Anteil biegt den Träger wie bisher, der waagerechte läuft als Normalkraft durch ihn hindurch.

Abbildung 7.Eine Last von 25 kN unter 35° gegen die Senkrechte, in Feldmitte. Das Gelenklager liefert nun neben der senkrechten auch eine waagerechte Auflagerkraft, nach außen entlang der Trägerachse gezeichnet, und die senkrechten Auflagerkräfte sind um cos 35° gesunken.

Abbildung 8.Das Normalkraftdiagramm dieses Trägers: gleichbleibender ZUG vom Gelenklager bis zur Last, danach null. Die Last drückt in Feldmitte nach rechts, während das Gelenklager am Ende nach links hält — dieser Trägerabschnitt wird also auseinandergezogen; hinter der Last gibt es nichts mehr aufzunehmen, denn ein Rollenlager kann keine waagerechte Kraft liefern. Zug ist hier positiv, wie in den Fachwerk-, Rahmen- und Querschnittswerkzeugen.

Bei einem Träger ohne geneigte Last ist dieses Diagramm durchgehend null, der Rechner zeigt es deshalb nur, wenn es etwas zu zeigen gibt. Es lohnt sich zu wissen, dass es existiert: Ein Träger, der zusätzlich Normalkraft trägt, ist ein Biegeträger unter Normalkraft, und sein Nachweis ist ein kombinierter, nicht nur Biegung.

Die Durchbiegung und die Grenzen, die sie bestimmen

Abbildung 9.Die Durchbiegung des Referenzträgers, mit dem Größtwert 26.67 mm. Auf der ganzen Seite gilt: nach unten ist negativ.

Die Tragfähigkeit verhindert den Bruch, die Durchbiegung verhindert den Ärger. Zu große Bewegung reißt Putz, klemmt Türen, lässt Decken federn und stört empfindliche Geräte — nichts davon ist ein Einsturz, alles davon ist ein Mangel. Die Normen geben die Grenze als Bruchteil der Stützweite an:

L/250 — Gesamtdurchbiegung eines Deckenträgers (ein üblicher Wert in AS 4100 und im Eurocode)
L/300 — nur Nutzlast
L/360 — Decken mit sprödem Ausbau
L/180 — Dachträger ohne darunterliegende Decke
L/500 — trägt Glas oder empfindliche Geräte

Prüfen Sie stets die Grenze, die für Ihr Projekt wirklich gilt; das sind übliche Werte, kein Ersatz für die Norm. Für den 8 m langen Referenzträger sind L/250 gleich 32 mm gegenüber tatsächlich 26.67 mm — komfortabel. Ist es das nicht, hilft ein steiferes Profil (mehr I), kein festeres; der Durchbiegung ist die Streckgrenze gleichgültig.

Statisch bestimmt, unbestimmt — und warum das irgendwann keine Rolle mehr spielt

Ein Träger ist statisch bestimmt, wenn das Gleichgewicht allein die Auflagerreaktionen liefert — ein Einfeldträger auf Gelenk und Rollenlager, oder ein Kragarm. Fügen Sie ein Auflager hinzu oder spannen Sie ein Ende ein, gibt es mehr Unbekannte als Gleichungen: Der Träger ist statisch unbestimmt, und die Antwort hängt nun von der Steifigkeit ebenso ab wie von der Geometrie.

Abbildung 10.Zwei Felder von je 6 m über drei Auflagern, unter 12 kN/m. Das Mittelauflager übernimmt weit mehr als seinen Anteil, und darüber entsteht ein negatives Moment von 54.0 kN·m — ein Moment, das nicht existiert, wenn die beiden Felder als getrennte Einfeldträger gebaut werden.

Durchlaufwirkung lohnt sich: Das negative Moment über dem Innenauflager zieht die positiven Feldmomente herunter, dieselbe Last kommt also mit einem kleineren Profil aus. Sie ist auch der Grund, warum Durchlaufträger sich nicht über das Gleichgewicht lösen lassen — und warum jedes ernsthafte Werkzeug, auch dieses, stattdessen das direkte Steifigkeitsverfahren verwendet. Für den Menschen am Rechner verschwindet der Unterschied: Felder in der Eigenschaftstabelle hinzufügen, Auflager dorthin setzen, wo sie hingehören — und der Löser stellt die Gesamtsteifigkeitsmatrix auf und invertiert sie, ohne gefragt zu werden.

Abbildung 11.Ein Kragarm: links eingespannt, rechts frei, 20 kN an der Spitze. Größtes Moment am Auflager, größte Durchbiegung am freien Ende, durchgehend negatives Moment — in jeder Hinsicht das Spiegelbild des Einfeldträgers.

Hier verwendete Vorzeichenregeln

Lasten — negativ wirkt nach unten. Darüber stolpert fast jeder einmal; geben Sie die Schwerkraft als negative Zahl ein.
Querkraft — die positive Querkraft wirkt an der linken Schnittfläche nach oben.
Moment — positiv ist das positive Moment (nach oben offen). Spiegeln Sie die Darstellung, wenn Ihre Regel abweicht.
Normalkraft — positiv ist Zug, wie in den Fachwerk-, Rahmen- und Querschnittswerkzeugen.
Durchbiegung und Setzung — negativ ist nach unten.

Sie decken sich mit den meisten Lehrbüchern. Vergleichen Sie mit einem bestimmten, prüfen Sie zuerst dessen Regel — ein Ergebnis, das genau um ein Minuszeichen falsch aussieht, ist fast nie falsch.

Wie es weitergeht

Arbeiten Sie die Themen dieser Seite vollständig durch:

Einfeldträger unter Gleichlast — woher wL²/8 kommt, hergeleitet.
Kragarm mit Spitzenlast und Gleichlast — Verhalten der Einspannung und Überlagerung.
Zweifeldträger — die Dreimomentengleichung gegen den Löser gestellt.
Träger mit Auflagersenkung — der Fall, in dem die Geometrie allein nicht reicht.

Und dann weiter:

Trägerrechner — bauen Sie Ihren eigenen; die Ergebnisse aktualisieren sich beim Tippen.
Rahmenrechner — wenn Träger und Stützen zusammenwirken und die Seitenverschiebung zählt.
Querschnittsrechner — zeichnen Sie einen Querschnitt und erhalten Sie das I, das Ihre Trägerberechnung braucht.
Stahlprofile verstehen — die Wahl aus der Bibliothek mit 2.600 Profilen.
Berichtsgenerator — bringen Sie Diagramme und Tabellen in einen Rechenbericht.

Häufige Fragen

Was unterscheidet Festlager, Rollenlager und Einspannung?: Das Rollenlager hält nur senkrecht, der Träger kann sich also verdrehen und in Längsrichtung verschieben. Das Festlager hält senkrecht und waagerecht, lässt die Verdrehung aber zu und liefert deshalb kein Einspannmoment. Die Einspannung hält alle drei — senkrecht, waagerecht und die Verdrehung — und gibt daher zusätzlich zur Kraft ein Moment ab. Die Wahl verändert das Ergebnis erheblich: Beim selben 8 m langen Träger unter denselben 10 kN/m sinkt das größte Biegemoment durch beidseitige Einspannung von 80 auf 53.3 kN·m und wandert von Feldmitte zu den Auflagern.
Wo tritt am Träger das größte Biegemoment auf?: Dort, wo die Querkraft durch null geht. Das ist die nützlichste Regel, um beide Linien gemeinsam zu lesen: Das Biegemoment ist das Integral der Querkraft und erreicht deshalb genau dort ein örtliches Größt- oder Kleinstmaß, wo die Querkraft ihr Vorzeichen wechselt. Beim Einfeldträger unter Gleichlast liegt diese Stelle in Feldmitte, beim Kragarm liegt das größte Moment an der Einspannung, und beim Durchlaufträger gibt es je Feld eine solche Stelle sowie über jedem Zwischenauflager ein Stützmoment.
Woran erkenne ich, ob die Durchbiegung meines Trägers zulässig ist?: Vergleichen Sie sie mit dem Grenzwert Ihrer Norm. Übliche Werte sind L/250 für die Gesamtdurchbiegung eines Deckenträgers, L/300 allein aus Nutzlast, L/360 bei getragenen spröden Ausbauteilen, L/180 für ein Dach ohne Decke darunter und L/500 bei Glas oder empfindlichen Geräten. Maßgebend ist immer der Wert Ihrer Norm, nicht eine allgemeine Zahl. Hält der Träger die Durchbiegung nicht ein, hilft ein steiferer Querschnitt — mehr Flächenträgheitsmoment — und kein festerer: Die Durchbiegung hängt nicht von der Streckgrenze ab.
Was ist ein statisch unbestimmter Träger?: Ein Träger mit mehr unbekannten Auflagerreaktionen, als die drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene lösen können. Ein Feld auf Fest- und Rollenlager ist statisch bestimmt; kommt ein drittes Auflager hinzu oder wird ein Ende eingespannt, hängen die Auflagerkräfte zusätzlich von der Steifigkeitsverteilung ab und nicht mehr allein von der Geometrie. Handverfahren brauchen dann neben dem Gleichgewicht auch Verträglichkeitsbedingungen — deshalb rechnet StructureCalcs mit dem direkten Steifigkeitsverfahren: Für die bedienende Person ist ein Durchlaufträger nicht schwerer einzugeben als ein Einfeldträger.
Kann ein Träger neben Biegung auch Normalkraft aufnehmen?: Ja, und StructureCalcs zeigt es. Greift eine Einzellast schräg statt senkrecht an, läuft ihre waagerechte Komponente als Normalkraft durch den Träger und erscheint in einem vierten Diagramm neben Querkraft, Moment und Durchbiegung. Die Auflager liefern dann zusätzlich zur senkrechten eine waagerechte Reaktion. Ein Bauteil unter Biegung und Normalkraft ist ein Biegeknickstab, und sein Nachweis ist ein kombinierter, nicht einer auf Biegung allein.