Quelle différence entre une articulation, un appui simple et un encastrement ?

L’appui simple ne bloque que le déplacement vertical : la poutre peut tourner et glisser selon son propre axe. L’articulation bloque les déplacements vertical et horizontal mais laisse tourner : elle ne donne donc pas de moment. L’encastrement bloque les trois — vertical, horizontal et rotation — d’où un moment en plus d’une force. Le choix change beaucoup la réponse : sur la même poutre de 8 m sous les mêmes 10 kN/m, encastrer les deux extrémités fait passer le moment maximal de 80 à 53.3 kN·m et le déplace de la mi-portée vers les appuis.

Où se situe le moment fléchissant maximal sur une poutre ?

Là où l’effort tranchant s’annule. C’est la règle la plus utile pour lire les deux diagrammes ensemble : le moment fléchissant est l’intégrale de l’effort tranchant, il atteint donc un maximum ou un minimum local exactement là où l’effort tranchant change de signe. Sur une poutre sur deux appuis sous charge uniforme, ce point est à mi-portée ; sur une console, le moment maximal est à l’encastrement ; sur une poutre continue, il y a un tel point dans chaque travée, plus un pic négatif au droit de chaque appui intermédiaire.

Comment savoir si la flèche de ma poutre est acceptable ?

Comparez-la à la limite portée/rapport fixée par votre code. Les valeurs courantes sont L/250 pour la flèche totale d’une poutre de plancher, L/300 pour les seules charges d’exploitation, L/360 lorsqu’elle porte des finitions fragiles, L/180 pour une toiture sans plafond, et L/500 pour du verre ou des équipements sensibles. Employez toujours la limite de votre code de référence plutôt qu’un chiffre général. Si la poutre échoue en flèche, le remède est une section plus raide — davantage de moment quadratique — et non plus résistante : la flèche ne dépend pas de la limite d’élasticité.

Qu’est-ce qu’une poutre hyperstatique ?

Une poutre dont les réactions inconnues sont plus nombreuses que ce que les trois équations de l’équilibre plan peuvent résoudre. Une travée sur une articulation et un appui simple est isostatique ; ajoutez un troisième appui, ou encastrez une extrémité, et les réactions dépendent alors aussi de la raideur relative des travées, et non de la seule géométrie. Les méthodes manuelles exigent des conditions de compatibilité en plus de l’équilibre : c’est pourquoi StructureCalcs emploie la méthode directe des rigidités — pour l’utilisateur, une poutre continue n’est pas plus difficile à saisir qu’une simple.

Une poutre peut-elle reprendre un effort normal en plus de la flexion ?

Oui, et StructureCalcs le montre. Si une charge ponctuelle est appliquée inclinée plutôt que verticale, sa composante horizontale parcourt la poutre en effort normal et apparaît dans un quatrième diagramme, aux côtés de l’effort tranchant, du moment et de la flèche. Les appuis renvoient alors une réaction horizontale en plus de la verticale. Une barre soumise à la fois à la flexion et à l’effort normal est un poteau-poutre, et sa vérification est combinée, non de flexion seule.

Comment analyser une poutre : appuis, charges et les quatre diagrammes

Une référence visuelle. Chaque figure de cette page est un modèle réel résolu par le moteur qui fait tourner le calculateur de poutres et tracé par le code qui dessine sa zone de travail — ce que vous voyez ici est donc exactement ce que l’outil vous donnera. Pour les développements complets à la main, voyez les dix exemples résolus de poutres.

Ce qu’une analyse de poutre doit produire

Une poutre porte la charge en fléchissant. L’analyse répond à quatre questions à son sujet, et une réponse complète, ce sont quatre diagrammes plus les réactions d’appui — pas un seul nombre.

Figure 1.La poutre de référence utilisée dans toute cette page : 8 m, articulée à gauche, appui simple à droite, sous 10 kN/m. Les flèches violettes sont les réactions d’appui calculées ; le trait pointillé est la déformée, exagérée pour être visible.

Réactions — ce que les appuis renvoient. Leur somme doit équilibrer exactement la charge appliquée ; c’est la première vérification à faire sur tout résultat.
Effort tranchant — l’effort interne qui tend à faire glisser une partie de la poutre sur la suivante. Il gouverne l’épaisseur de l’âme et les assemblages au cisaillement.
Moment fléchissant — le couple interne qui courbe la poutre. Il gouverne la taille du profilé, et c’est le diagramme par lequel commence l’essentiel du dimensionnement.
Flèche — de combien la poutre bouge réellement. La résistance l’empêche de rompre ; la flèche la garde utilisable.

Pour cette poutre, le moteur donne un moment maximal de 80.0 kN·m à mi-portée et une flèche maximale de 26.67 mm — le wL²/8 et le 5wL⁴/384EI des manuels, utile rappel que les formules classiques sont des cas particuliers de ce que le solveur fait en général.

Appuis : ce que chacun bloque

Un appui se définit par ce qu’il empêche. La même poutre sous la même charge donne trois réponses différentes selon le blocage à ses extrémités — c’est pourquoi bien choisir le type d’appui compte plus que presque toute autre décision de modélisation.

Appui simple — ne bloque que le déplacement vertical. La poutre peut tourner et glisser selon son axe. On l’emploie là où la dilatation thermique doit être permise, par exemple à une extrémité de poutre de pont sur appareil glissant.
Articulation — bloque les déplacements vertical et horizontal, mais permet la rotation. Elle ne donne pas de réaction de moment. Un unique groupe de boulons dans un assemblage poutre-poteau en acier se modélise en général comme une articulation.
Encastrement — bloque les trois : vertical, horizontal et rotation. Il renvoie donc une réaction de moment. Un assemblage poutre-poteau entièrement soudé, ou une poutre encastrée dans un voile en béton.

Figure 2.La même portée et les mêmes 10 kN/m, avec l’extrémité gauche ENCASTRÉE au lieu d’articulée. L’encastrement renvoie maintenant un moment de 80.0 kN·m, et les réactions ne sont plus égales — l’extrémité la plus rigide attire davantage de charge.

Figure 3.Encastrée aux deux extrémités. Les moments d’extrémité montent à 53.3 kN·m chacun et le moment positif à mi-portée tombe au tiers de la valeur isostatique — la même charge, portée bien plus efficacement, au prix d’assemblages capables de réaliser réellement l’encastrement.

Encastrer les deux extrémités de la poutre de référence fait passer son moment maximal de 80.0 à 53.3 kN·m. C’est tout l’argument en faveur de la continuité, et aussi sa mise en garde : le calcul ne la livre que si l’assemblage réel la livre.

Charges : ce que chacune fait aux diagrammes

Quatre types de charges couvrent presque tout ce que voit une poutre, et chacun laisse sur les diagrammes une signature qu’il vaut la peine de savoir reconnaître au premier coup d’œil.

Figure 4.Les quatre sur une même poutre : une charge ponctuelle de 20 kN à 2 m, une charge uniforme de 8 kN/m de 4 à 7 m, une charge croissant jusqu’à 12 kN/m de 8 à 11 m, et un moment appliqué de 25 kN·m à 11.5 m.

Charge ponctuelle — une force en un point : un poteau retombant sur une poutre de transfert, une machine boulonnée à un plancher. Elle met un saut vertical dans le diagramme d’effort tranchant et un point anguleux dans celui des moments.
Charge uniformément répartie — intensité constante sur une longueur : poids propre de dalle, complexe de plancher. Sous elle, l’effort tranchant varie linéairement et le moment devient parabolique.
Charge variable — trapézoïdale ou triangulaire : poussée des terres ou de l’eau, vent croissant avec la hauteur. L’effort tranchant devient parabolique, le moment cubique.
Moment appliqué — un couple pur sans force résultante, venant d’une console excentrée ou d’un encastrement reporté. Il met un saut dans le diagramme des moments et laisse l’effort tranchant inchangé.

Une charge surfacique est la même chose exprimée en pression (kN/m²) multipliée par une largeur d’influence. Donnez au calculateur la pression et la largeur à chaque extrémité, et il la convertit en charge linéaire équivalente, ce qui évite l’étape de calcul où naissent d’ordinaire les erreurs.

Lire le diagramme d’effort tranchant

Figure 5.L’effort tranchant de la poutre de référence. Il part de la réaction de gauche, décroît linéairement sous la charge uniforme et coupe le zéro à mi-portée — exactement là où le moment culmine.

Une charge ponctuelle (ou une réaction d’appui) fait sauter l’effort tranchant, de sa propre valeur.
Une charge uniforme le fait décroître linéairement ; une charge variable, de façon parabolique.
Là où rien n’est appliqué, l’effort tranchant est constant.
Là où l’effort tranchant coupe le zéro, le moment fléchissant est à un maximum ou un minimum local.

C’est cette dernière règle qu’il vaut la peine d’intérioriser : elle indique où regarder sur le diagramme des moments sans avoir à le lire, et c’est une vérification rapide de cohérence. Survolez (ou touchez, sur un téléphone) n’importe quel point du graphique du calculateur pour lire la valeur et la position exactes.

Lire le diagramme de moment fléchissant

Figure 6.Le moment de la poutre de référence — la parabole que produit toujours une charge uniforme, culminant à 80.0 kN·m à mi-portée. Le moment positif est ici tracé au-dessus de l’axe ; le calculateur dispose d’une commande pour l’inverser si votre convention est l’inverse.

À une articulation ou un appui simple, le moment est nul — ces appuis ne peuvent pas en reprendre.
À un encastrement, il n’est pas nul : le moment d’encastrement est une réaction.
Sous une charge ponctuelle, le diagramme présente un point anguleux mais reste continu.
Un moment appliqué y crée un saut.
Sous une charge uniforme, il est parabolique ; le sommet se trouve là où l’effort tranchant coupe le zéro.

La convention de signe est la source habituelle de confusion, et c’est une convention, pas un fait : selon les manuels, le moment positif se trace vers le haut ou vers le bas. StructureCalcs le trace par défaut au-dessus de l’axe et vous laisse l’inverser, pour coller à l’usage de votre cours ou de votre bureau. L’inversion se répercute sur le PDF et le générateur de rapports : le papier ne contredit jamais l’écran.

Le diagramme d’effort normal, et les charges qui ne sont pas verticales

Toutes les charges d’une poutre ne pointent pas droit vers le bas. Une tige de suspente inclinée, une béquille, un tirant d’ancrage, le vent sur un élément en pente — toutes poussent le long de la poutre autant qu’en travers. Donnez un angle à une charge ponctuelle et le calculateur la décompose : la part verticale fléchit la poutre comme avant, la part horizontale la parcourt en effort normal.

Figure 7.Une charge de 25 kN à 35° de la verticale, à mi-portée. L’articulation renvoie maintenant une réaction horizontale en plus de la verticale, tracée vers l’extérieur selon l’axe de la poutre, et les réactions verticales ont diminué de cos 35°.

Figure 8.Le diagramme d’effort normal de cette poutre : TRACTION constante de l’articulation jusqu’à la charge, nulle au-delà. La charge pousse vers la droite à mi-portée tandis que l’articulation retient vers la gauche à l’extrémité : ce tronçon de poutre est donc tiré ; au-delà de la charge, il n’y a plus rien à équilibrer, car un appui simple ne peut pas fournir d’effort horizontal. La traction est positive ici, comme dans les outils treillis, portique et section.

Sur une poutre sans charge inclinée, ce diagramme est plat à zéro : le calculateur ne l’affiche donc que lorsqu’il y a quelque chose à montrer. Il vaut la peine de savoir qu’il existe : une poutre qui reprend aussi un effort normal est une poutre-poteau, et sa vérification est combinée, pas seulement en flexion.

La flèche et les limites qui la gouvernent

Figure 9.La flèche de la poutre de référence, culminant à 26.67 mm. Sur tout le site, vers le bas est négatif.

La résistance empêche la poutre de rompre ; la flèche l’empêche d’être gênante. Un mouvement excessif fissure les enduits, coince les portes, rend les planchers élastiques et perturbe les équipements sensibles — rien de tout cela n’est une ruine, et tout cela est un défaut. Les codes expriment la limite en fraction de la portée :

L/250 — flèche totale d’une poutre de plancher (valeur courante dans AS 4100 et l’Eurocode)
L/300 — charge d’exploitation seule
L/360 — planchers portant des finitions fragiles
L/180 — pannes de toiture sans plafond en dessous
L/500 — supportant du vitrage ou des équipements sensibles

Vérifiez toujours la limite qui s’applique réellement à votre projet ; ce sont des valeurs typiques, pas un substitut au code. Pour la poutre de référence de 8 m, L/250 vaut 32 mm contre 26.67 mm réels — confortable. Quand ce n’est pas confortable, le remède est un profilé plus rigide (plus de I), pas plus résistant ; la flèche se moque de la limite d’élasticité.

Isostatique, hyperstatique, et pourquoi cela cesse d’importer

Une poutre est isostatique quand l’équilibre seul donne les réactions — une travée unique sur une articulation et un appui simple, ou une console. Ajoutez un appui, ou encastrez une extrémité, et il y a plus d’inconnues que d’équations : la poutre est hyperstatique, et la réponse dépend désormais de la rigidité autant que de la géométrie.

Figure 10.Deux travées de 6 m sur trois appuis, sous 12 kN/m. L’appui central en reprend bien plus que sa part, et un moment négatif de 54.0 kN·m apparaît au-dessus de lui — un moment qui n’existe pas si les deux travées sont construites en poutres isostatiques séparées.

La continuité vaut la peine : le moment négatif sur l’appui intermédiaire tire vers le bas les moments positifs de travée, si bien que la même charge demande un profilé plus petit. C’est aussi pourquoi les poutres continues ne se résolvent pas par l’équilibre — et pourquoi tout outil sérieux, celui-ci compris, emploie plutôt la méthode directe des rigidités. Pour qui utilise le calculateur, la distinction disparaît : ajoutez des travées dans le tableau des propriétés, placez les appuis là où ils vont, et le solveur assemble et inverse la matrice de rigidité globale sans qu’on le lui demande.

Figure 11.Une console : encastrée à gauche, libre à droite, 20 kN en bout. Moment maximal à l’appui, flèche maximale à l’extrémité libre, moment négatif partout — l’image en miroir du cas isostatique à tous égards.

Conventions de signe employées ici

Charges — le négatif agit vers le bas. Cela piège presque tout le monde une fois ; saisissez la gravité en nombre négatif.
Effort tranchant — l’effort tranchant positif agit vers le haut sur la face gauche d’une coupure.
Moment — le positif est le moment positif (concavité vers le haut). Inversez le tracé si votre convention diffère.
Effort normal — le positif est la traction, comme dans les outils treillis, portique et section.
Flèche et tassement — le négatif est vers le bas.

Elles correspondent à la plupart des manuels. Si vous comparez à l’un d’eux en particulier, vérifiez d’abord sa convention — un résultat qui semble faux d’exactement un signe moins ne l’est presque jamais.

Où aller ensuite

Traitez en entier les sujets de cette page :

Poutre sur deux appuis sous charge uniforme — d’où vient wL²/8, démontré.
Console avec charge en bout et charge uniforme — comportement de l’encastrement et superposition.
Poutre continue à deux travées — l’équation des trois moments confrontée au solveur.
Poutre avec tassement d’appui — le cas où la géométrie seule ne suffit pas.

Puis allez plus loin :

Calculateur de poutres — construisez la vôtre ; les résultats se mettent à jour à mesure que vous tapez.
Calculateur de portiques — quand la poutre et ses poteaux travaillent ensemble et que le déplacement latéral compte.
Calculateur de sections — dessinez une section et obtenez le I dont votre analyse a besoin.
Comprendre les profilés en acier — choisir dans la bibliothèque de 2 600 profilés.
Générateur de rapports — mettez les diagrammes et les tableaux dans une note de calcul.

Questions fréquentes

Quelle différence entre une articulation, un appui simple et un encastrement ?: L’appui simple ne bloque que le déplacement vertical : la poutre peut tourner et glisser selon son propre axe. L’articulation bloque les déplacements vertical et horizontal mais laisse tourner : elle ne donne donc pas de moment. L’encastrement bloque les trois — vertical, horizontal et rotation — d’où un moment en plus d’une force. Le choix change beaucoup la réponse : sur la même poutre de 8 m sous les mêmes 10 kN/m, encastrer les deux extrémités fait passer le moment maximal de 80 à 53.3 kN·m et le déplace de la mi-portée vers les appuis.
Où se situe le moment fléchissant maximal sur une poutre ?: Là où l’effort tranchant s’annule. C’est la règle la plus utile pour lire les deux diagrammes ensemble : le moment fléchissant est l’intégrale de l’effort tranchant, il atteint donc un maximum ou un minimum local exactement là où l’effort tranchant change de signe. Sur une poutre sur deux appuis sous charge uniforme, ce point est à mi-portée ; sur une console, le moment maximal est à l’encastrement ; sur une poutre continue, il y a un tel point dans chaque travée, plus un pic négatif au droit de chaque appui intermédiaire.
Comment savoir si la flèche de ma poutre est acceptable ?: Comparez-la à la limite portée/rapport fixée par votre code. Les valeurs courantes sont L/250 pour la flèche totale d’une poutre de plancher, L/300 pour les seules charges d’exploitation, L/360 lorsqu’elle porte des finitions fragiles, L/180 pour une toiture sans plafond, et L/500 pour du verre ou des équipements sensibles. Employez toujours la limite de votre code de référence plutôt qu’un chiffre général. Si la poutre échoue en flèche, le remède est une section plus raide — davantage de moment quadratique — et non plus résistante : la flèche ne dépend pas de la limite d’élasticité.
Qu’est-ce qu’une poutre hyperstatique ?: Une poutre dont les réactions inconnues sont plus nombreuses que ce que les trois équations de l’équilibre plan peuvent résoudre. Une travée sur une articulation et un appui simple est isostatique ; ajoutez un troisième appui, ou encastrez une extrémité, et les réactions dépendent alors aussi de la raideur relative des travées, et non de la seule géométrie. Les méthodes manuelles exigent des conditions de compatibilité en plus de l’équilibre : c’est pourquoi StructureCalcs emploie la méthode directe des rigidités — pour l’utilisateur, une poutre continue n’est pas plus difficile à saisir qu’une simple.
Une poutre peut-elle reprendre un effort normal en plus de la flexion ?: Oui, et StructureCalcs le montre. Si une charge ponctuelle est appliquée inclinée plutôt que verticale, sa composante horizontale parcourt la poutre en effort normal et apparaît dans un quatrième diagramme, aux côtés de l’effort tranchant, du moment et de la flèche. Les appuis renvoient alors une réaction horizontale en plus de la verticale. Une barre soumise à la fois à la flexion et à l’effort normal est un poteau-poutre, et sa vérification est combinée, non de flexion seule.