Wie man ein Fachwerk berechnet: Knoten, Schnitte und das Weggrößenverfahren

Eine anschauliche Referenz. Jedes Fachwerk auf dieser Seite löst dieselbe Maschine, die auch den Fachwerkrechner antreibt — Stabkräfte und Farben sind also die Antworten des Werkzeugs selbst. Vollständige Handrechnungen finden Sie in den zehn gelösten Fachwerkbeispielen.

Was ein Fachwerk ist — und was es wirtschaftlich macht

Ein Fachwerk ist eine Menge gerader Stäbe, die sich in Knoten treffen. Belasten Sie es nur in diesen Knoten, trägt jeder Stab reine Normalkraft — gezogen oder gedrückt — und nirgends Biegung. Darin liegt das ganze Wirtschaftlichkeitsargument: Biegung nutzt einen Querschnitt ungleichmäßig aus, der Werkstoff nahe der Nulllinie arbeitet kaum mit, während die Normalkraft ihn auf einmal ganz ausnutzt.

Abbildung 1.Das kleinste stabile Fachwerk: drei Stäbe, drei Knoten, 20 kN am First. Rote Stäbe sind gezogen, blaue gedrückt. Der Untergurt wird auseinandergezogen (6.67 kN Zug), während die beiden Sparren gestaucht werden — das Verhalten jedes je gebauten Dachbinders, im Kleinen.

Dass dies funktioniert, liegt an der Annahme gelenkiger Knoten. Wirkliche Knoten sind geschweißt oder geschraubt und übertragen durchaus etwas Moment, doch die Stäbe sind schlank und die Berechnung reagiert darauf kaum; die Idealisierung ist üblich und für die Stabbemessung auf der sicheren Seite. Stäbe, die nur Normalkraft tragen, heißen Zweikraftstäbe, und genau diese Einschränkung macht ein Fachwerk so viel leichter lösbar als einen Rahmen.

Eine Folge übersieht man leicht: Eine Last zwischen den Knoten hebt die Annahme auf. Pfettenlasten in Feldmitte bringen Biegung in den Gurt — das ist gesondert nachzuweisen oder stattdessen als Rahmen zu modellieren.

Die Fachwörter, am Bild

Abbildung 2.Ein vierfeldriges Warren-Fachwerk über 12 m, mit drei Lasten von je 30 kN am Untergurt. Knotennummern in Kreisen, Stabnummern auf den Stäben — dieselbe Beschriftung wie im Rechner.
  • Gurte — die Stäbe, die oben und unten durchlaufen. Bei einem gelenkig gelagerten Fachwerk ist der Obergurt in der Regel gedrückt, der Untergurt gezogen.
  • Füllstäbe — alles zwischen den Gurten. Diagonalen stehen schräg, Pfosten nicht.
  • Feld — der Abschnitt zwischen zwei benachbarten Knoten eines Gurts.
  • Knoten — wo die Stäbe zusammentreffen und wo die Last angreifen muss.
  • Nullstab — ein Stab, der in diesem Lastfall nichts trägt und aus Stabilitätsgründen oder zur Verkürzung einer Knicklänge bleibt. Der Rechner zeichnet sie grau.

Die benannten Fachwerktypen unterscheiden sich nur darin, wie die Füllstäbe angeordnet sind. Ein Warren-Fachwerk wechselt die Diagonalen ohne Pfosten; ein Pratt setzt seine Diagonalen auf Zug und seine Pfosten auf Druck; ein Howe macht es umgekehrt; ein Fink unterteilt für Dachneigungen. Welcher passt, hängt davon ab, welche Stäbe man lieber gezogen hätte — Stahl mag Zug und knickt unter Druck, weshalb der Pratt-Typ bei Stahlbrücken verbreitet ist.

Statische Bestimmtheit: Lässt sich das von Hand lösen?

Zählen Sie die Stäbe (m), die Auflagerreaktionskomponenten (r) und die Knoten (j). Jeder Knoten liefert bei einem ebenen Fachwerk zwei Gleichgewichtsbedingungen, also:

  • m + r < 2j — ein Mechanismus. Er bewegt sich. Keine Berechnung repariert das, und der Löser weist ihn zurück, statt Zahlen zu liefern.
  • m + r = 2j — statisch bestimmt. Das Gleichgewicht allein liefert jede Kraft; das Knotenpunktverfahren funktioniert.
  • m + r > 2j — statisch unbestimmt. Die Kräfte hängen jetzt von der Dehnsteifigkeit (EA) ab, Handverfahren brauchen also zusätzlich die Verträglichkeit.

Das obige Warren-Fachwerk hat m = 15, r = 3 (ein Gelenk und ein Rollenlager) und j = 9, also m + r = 18 und 2j = 18. Statisch bestimmt — es lässt sich von Hand Knoten für Knoten lösen.

⚠ Die Abzählung ist notwendig, nicht hinreichend. Ein Fachwerk kann m + r = 2j erfüllen und trotzdem unbrauchbar sein, wenn die Stäbe schlecht angeordnet sind — drei Stäbe in einer Geraden an einem Knoten, oder ein Feld ohne Diagonale. Die Geometrie ist ebenso zu prüfen wie die Rechnung.

Das Knotenpunktverfahren

Schneiden Sie einen Knoten nach dem anderen frei und setzen Sie ΣFx = 0 und ΣFy = 0 an. Zwei Gleichungen heißt: Sie können nur an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stäben beginnen — meist einem Auflager — und arbeiten sich dann durch das Fachwerk, weil jeder gelöste Stab am nächsten Knoten eine bekannte Kraft ist.

  1. Bestimmen Sie zuerst die Auflagerreaktionen aus dem Gesamtgleichgewicht.
  2. Wählen Sie einen Knoten mit höchstens zwei Unbekannten.
  3. Nehmen Sie jeden unbekannten Stab als gezogen an — vom Knoten weg ziehend. Ein negatives Ergebnis heißt dann schlicht Druck, und Sie müssen nie eine Richtung raten.
  4. Zerlegen Sie waagerecht und senkrecht und lösen Sie die beiden Gleichungen.
  5. Gehen Sie zum nächsten Knoten, der nun höchstens zwei Unbekannte hat, und wiederholen Sie das.
Abbildung 3.Das Dreistab-Fachwerk mit seinen gelösten Kräften. Am gelenkigen Knoten 1 gibt es genau zwei unbekannte Stäbe — deshalb ist er der richtige Anfang. Die Vorzeichen folgen der Regel „Zug positiv“, der Untergurt ergibt sich also zu +6.67 kN (Zug) und jeder Sparren zu -12.02 kN — das Minuszeichen IST die Antwort „Druck“.

Das Verfahren ist exakt, aber seriell: Jede Kraft hängt von der vorherigen ab, ein Rechenfehler am Anfang pflanzt sich also stillschweigend bis zum Ende fort. Das ist das praktische Argument, gegen einen Löser zu prüfen — und das gelöste Beispiel tut genau das, Zeile für Zeile.

Das Schnittverfahren

Wenn Sie nur ein oder zwei Stabkräfte brauchen — etwa den größten Zug im Untergurt in der Mitte eines langen Brückenfachwerks —, zwingt Sie das Knotenpunktverfahren, alles davor zu lösen. Das Schnittverfahren schneidet stattdessen direkt dorthin.

  1. Legen Sie einen gedachten Schnitt durch das Fachwerk, der den gesuchten Stab und höchstens drei Stäbe insgesamt trifft.
  2. Verwerfen Sie eine Seite und behandeln Sie die andere als starren Körper.
  3. Setzen Sie die drei ebenen Gleichgewichtsbedingungen an: ΣFx, ΣFy, ΣM.
  4. Bilden Sie die Momentensumme um den Punkt, in dem sich zwei der drei geschnittenen Stäbe kreuzen — das eliminiert beide in einer Zeile und liefert den dritten unmittelbar.

Der Momententrick ist das ganze Verfahren. Beim obigen Warren-Fachwerk liefern ein Schnitt durch das Mittelfeld und eine Momentengleichung um den Obergurtknoten den größten Untergurtzug von 65.6 kN, ohne einen anderen Stab zu berühren. Der größte Druck im Tragwerk beträgt 75.0 kN. Beides lässt sich direkt aus der Abbildung unten ablesen.

Abbildung 4.Das gelöste Warren-Fachwerk: Zug rot, Druck blau, die verformte Figur gestrichelt. Der Untergurt ist durchgehend gezogen, der Obergurt gedrückt, und die Diagonalen wechseln sich ab — das Kennzeichen dieses Typs.

Was das Weggrößenverfahren hinzufügt

Die klassischen Verfahren hören bei statisch bestimmten Fachwerken auf und liefern Kräfte, aber keine Verschiebungen. Das Weggrößenverfahren in Matrizenform — was die Maschine dieser Seite tatsächlich rechnet — hat keine dieser beiden Grenzen. Jeder Stab steuert eine Steifigkeit EA/L entlang seiner eigenen Achse bei, in globale Koordinaten gedreht; diese Beiträge fügen sich zur Gesamtsteifigkeitsmatrix K; und das ganze Tragwerk wird auf einmal aus K d = F gelöst — zuerst die Knotenverschiebungen, daraus die Stabkräfte.

Drei Dinge werden möglich, die Handverfahren nicht erreichen:

  • Statisch unbestimmte Fachwerke — zusätzliche Stäbe und Auflager sind nicht schwerer als der bestimmte Fall.
  • Auflagersenkung — ein Auflager, das sich bewegt, ruft in einem statisch unbestimmten Fachwerk auch ohne Last Kräfte hervor. Siehe das Beispiel des gesetzten Pfeilers.
  • Fertigungsabweichungen und Temperatur — ein 5 mm zu kurz gefertigter Stab oder ein Gurt in der Sonne zwingt das Tragwerk in einen Zustand, bevor überhaupt eine Last ankommt. Siehe Passungenauigkeit und Temperaturzwang.

Alle drei brauchen die Querschnittsflächen der Stäbe, nicht nur die Geometrie: In einem statisch bestimmten Fachwerk sind die Kräfte von EA unabhängig, doch sobald das Tragwerk unbestimmt ist, entscheidet die Steifigkeit über die Lastverteilung. Wählen Sie Profile aus der eingebauten Bibliothek, und die Flächen kommen mit.

Fehler, die man kennen sollte

  • Belastung zwischen den Knoten. Die Annahme gelenkiger Knoten gilt nur für Knotenlasten. Eine Last in Feldmitte biegt den Gurt und verlangt ein Rahmenmodell oder einen gesonderten örtlichen Nachweis.
  • Die Vorzeichenregel vergessen. Auf dieser Seite ist Zug durchgehend positiv. Ein Druckstab, der mit −45 kN ausgewiesen wird, ist kein Fehler.
  • Das Knicken übergehen. Die Berechnung liefert die Druckkraft; sie sagt nicht, dass der Stab sie erträgt. Ein langer, schlanker Druckstab versagt weit unterhalb seiner Querschnittstragfähigkeit, und dieser Nachweis ist ein eigener Bemessungsschritt.
  • Nullstäbe abtun. Sie tragen in diesem Lastfall nichts. Ändern Sie die Last, und vielleicht sind sie es, die arbeiten — und oft sind sie ohnehin da, um einen Druckstab zu halten.
  • Zu wenig halten. Zwei Rollenlager und kein Gelenk lassen das Fachwerk seitlich wegrutschen. Der Löser kann eine singuläre Matrix nicht invertieren und sagt das, statt eine Antwort zu erfinden.

Wie es weitergeht

Häufige Fragen

Woran erkenne ich, ob sich ein Fachwerk von Hand lösen lässt?
Zählen Sie die Stäbe m, die Auflagerkomponenten r und die Knoten j. Ist m + r gleich 2j, ist das Fachwerk statisch bestimmt und das Knotenpunktverfahren löst es allein aus dem Gleichgewicht. Ist m + r kleiner als 2j, liegt ein Mechanismus vor und das System bewegt sich. Ist m + r größer als 2j, ist es statisch unbestimmt und die Stabkräfte hängen von der Dehnsteifigkeit (EA) ab — Handverfahren brauchen dann zusätzlich die Verträglichkeit. Die Abzählung ist notwendig, aber nicht hinreichend: Ein Fachwerk kann m + r = 2j erfüllen und trotzdem verschieblich sein, wenn die Stäbe ungünstig angeordnet sind.
Wann nimmt man das Schnittverfahren statt des Knotenpunktverfahrens?
Wenn Sie nur ein oder zwei Stabkräfte brauchen und nicht alle. Das Knotenpunktverfahren arbeitet der Reihe nach — jede Kraft hängt von der vorigen ab —, sodass ein Stab in der Mitte eines langen Fachwerks erst nach allem davor erreichbar ist. Das Schnittverfahren schneidet unmittelbar durch den gesuchten Stab, quert dabei höchstens drei Stäbe, und eine einzige Momentengleichung um den Schnittpunkt der beiden anderen liefert ihn direkt.
Was ist ein Nullstab, und darf ich ihn einfach weglassen?
Ein Stab, der im gerade untersuchten Lastfall keine Kraft trägt. Weglassen sollte man ihn nicht. Meist hält er einen Druckstab und verkürzt dessen Knicklänge, und in einem anderen Lastfall — Windsog, einseitige Schneelast, ein fahrendes Fahrzeug — kann er zu den tragenden Stäben gehören. StructureCalcs zeichnet Nullstäbe grau, statt sie auszublenden.
Warum kommt die Stabkraft negativ heraus?
Weil er auf Druck steht. StructureCalcs rechnet durchgängig zugpositiv — im Fachwerk-, Rahmen-, Träger- und Querschnittswerkzeug gleichermaßen —, ein mit minus 45 kN ausgewiesener Stab trägt also 45 kN Druck. Genau deshalb wird das Knotenpunktverfahren so gelehrt, dass alle Unbekannten als Zug angesetzt werden: Ein negatives Ergebnis ist dann einfach das Ergebnis, und keine Richtung muss erraten werden.
Darf ich eine Last zwischen den Knoten eines Fachwerks aufbringen?
Nicht, ohne die Fachwerktheorie zu verlassen. Die Annahme gelenkiger Knoten gilt nur, wenn die Lasten in den Knoten angreifen; eine Last mitten im Feld bringt Biegung in den Gurt, die eine Fachwerkberechnung nicht sieht. Setzen Sie dort einen Knoten, rechnen Sie das Tragwerk als Rahmen, oder weisen Sie den Gurt gesondert als Träger zwischen den Knotenpunkten nach.
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